Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

1.3.4-misol. Agar a>0 bo’lsa
2a³+11>9a (4)
tengsizlikni isbotlang.
Isbot:

1.3.5-misol. Agar a>0, b>0, c>0 sonlari uchun a+b>c, a+c>b, b+c>a bo’lsa
(a²+b²+c²)(a+b+c)>2(a³+b³+c³) (5)
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
Isbot:
c2 ga
b2 ga
a2 ga
ko’paytirib va ularni hadma-had qo’shib ushbu tengsizlikni hosil qilamiz.
c³+b³+a³2(a+b)+b²(a+c)+a²(b+c)
bu tengsizlikni ikkala tomoniga c³+b³+a³ ifodani qo’shib ushbu tengsizlikni hosil qilamiz.
2(c³+b³+a³)< (a²+b²+c²)(a+b+c)
(4) tengsizlik isbot bo’ldi.
1.3.6-misol. Agar a>0, b>0, c>0 sonlari uchun a+b>c, a+c>b, b+c>a bo’lsa,
a²+b²+c²<2(ab+bc+ac) (6)
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
Isbot:
abcko’paytirib va ularni hadma-had qo’shib (6) tengsizlikni hosil qilamiz.
1.3.7-misol. |a+b|≤|a|+|b| bo’lishini isbotlang. (7)
Isbot:
-|a|≤a≤|a|
-|b|≤b≤|b|
-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| yoki |a+b|≤|a|+|b|
Tenglik faqat a∙b>0 bo’lgan holda o’rinli
|a₁+a₂+a₃+…+a_n|≤|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|
1.3.8-misol. |a-b|≥|a|-|b| bo’lishini isbotlang. (8)
Isbot:
a=(a-b)+b tenglikdan
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b| yoki |a-b|≥|a|-|b|
1.3.9-misol. Ixtiyoriy x haqiqiy son o’zgaruvchi uchun
(9)
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
Isbot: (8) qo’sh tengsizlik ushbu tengsizliklar sistemasiga ekvivalent.
≥ va
Ixtiyoriy x uchun x²+x+1= bo’lgani uchun yuqoridagi tengsizliklarni ushbu tengsizliklar sistemasi ko’rinishida yozib olamiz.
3(x²-x+1)≥x²+x+1 va x²-x+1≤3(x²+x+1) yoki
2(x-1)²≥0 va 2(x+1)²≥0
Ixtiyoriy x uchun o’rinli bo’lgan soda tengsizlikka keldik.