Учебное пособие. М.: «Архитектура С»
Download 1.78 Mb. Pdf ko'rish
|
Строительная Информатика (заочники)
|
Физическое - модель и моделируемый объект реальны и подобны друг другу; Математическое – моделирование средствами математики и логики; Имитационное - математическая модель представляет собой алгоритм функционирования объекта во времени, реализованный в виде программы для компьютера. 20.01.2013 83 Методика получения математической модели (ММ): 1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели; 2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта; 3. Синтез структуры ММ. Структура ММ - это общий вид математических соотношений; 4. Расчет числовых значений параметров ММ (задача минимизации погрешности модели заданной структуры); 5. Оценка точности и адекватности ММ. 20.01.2013 84 Функциональные ММ технических объектов создаются, как правило, на основе уравнений математической физики. При этом одна и та же математическая модель соответствует нескольким различным физическим моделям, например, дифференциальное уравнение Лапласа может описывать физическую модель кручения призматического стержня, теплопроводность в сплошных средах и т.д. 20.01.2013 85 В области строительства математическое моделирование строится на формировании расчетной схемы сооружения. Сложную систему расчленяют на более простые подсистемы: плоские или пространственные рамы, несущие стены и их фрагменты, плиты перекрытий, фундаменты. Схематизация связана с использованием допущений (гипотез), позволяющих математически описать свойства конструкций и материалов. 20.01.2013 86 Получение расчетной схемы включает три группы допущений: 1. Схематизация геометрической формы проектируемого объекта, назначение граничных условий; 2. Схематизация свойств материалов; 3. Схематизация нагрузок. 20.01.2013 87 Реальный объект заменяется идеализированным деформируемым телом : стержень (балка), стержневая система (рама, ферма), плоская стенка, изгибаемая пластинка, пространственное массивное тело и определенностью вида напряженно- деформированного состояния : плоское напряженное состояние, плоское деформированное состояние, трехмерное напряженное состояние. 20.01.2013 88 При выборе расчетной схемы следует придерживаться следующих правил: Модель должна правильно и полно отражать работу реального объекта, т.е. соответствовать механизмам его деформирования и разрушения; Принимаемая расчетная гипотеза должна ставить рассчитываемую конструкцию в худшие условия, чем те в которых находится действительная конструкция; Расчетная модель работы сооружения должна быть достаточно простой. 20.01.2013 89 Например: в расчетах на прочность изгибаемая балка должна противостоять моменту и поперечной силе, а при оценке жесткости балки определяется прогиб; подпорная стенка рассчитывается на устойчивость и на прочность основания по сжимающим напряжениям; сваи рассчитываются на вдавливание/ выдергивание по грунту и на прочность по материалу, кроме того, для изгибаемой сваи проверяется заделка в основание. 20.01.2013 90 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ РАСЧЕТОВ 20.01.2013 91 Математические модели используются для оценки состояния систем аналитическим или численным методом путем проведения на компьютере вычислительного эксперимента. Численный метод предполагает преобразование уравнений модели в соответствии с особенностями выбранного метода с целью получения рабочей программы для инженерного анализа. 20.01.2013 92 Математические модели основных задач строительной механики представляют собой краевую задачу для дифференциальных уравнений, или одну из задач линейной алгебры, или задачу математического программирования. 20.01.2013 93 Применение к стержневым системам метода сил или метода перемещений дает математическую Примеры. модель в виде системы линейных уравнений. Так для двухэтажной рамы углы поворота узлов z1, z2, z3, z4 связаны с нагрузкой p следующей системой: 20.01.2013 94 Задачи расчета напряженно-деформированного состояния пластин, плит и оболочек имеют в качестве математической модели краевую задачу для дифференциальных уравнений равновесия. Прогиб w(x,y) плиты, изгибаемой нагрузкой p(x,y) удовлетворяет краевой задаче: . 0 , 0 : , 0 при ; 0 , 0 : , 0 при 0 0 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 4 y w w b y y x w w a x x b y a x , D p y w y x w x w 20.01.2013 96 Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида где F - известная функция, связывающая независимую переменную x , искомую функцию у(х) и ее производные вплоть до п- го порядка. Основные сведения , 0 ) , , , , ( ) ( n y y y x F 20.01.2013 97 Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет вид Например: у" - х 2 у + х 2 = 0 – линейное дифференциальное уравнение второго порядка; у" + e y = 0 – нелинейное уравнение. . 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 ) ( x f y x a y x a y x a n n 20.01.2013 98 Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения называется функция связывающая независимую переменную x и постоянные интегрирования c 1 ,…, c n . Для определения постоянных c 1 ,…, c n задаются дополнительные условия. Их число равно числу постоянных ( максимальному порядку производной). ), , , , ( ) ( 1 n c c x x y 20.01.2013 99 Если все дополнительные условия задаются только в одной точке х 0 , то совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий называют задачей Коши . В этом случае дополнительные условия называют начальными условиями . Если же дополнительные условия задаются при нескольких значениях независимой переменной x , то это краевая задача , а дополнительные условия называют граничными или краевыми условиями . 20.01.2013 100 Свое первоначальное название этот тип задач получил по простейшим случаям, когда дополнительные условия задаются на концах (краях) отрезка. Примером является задача нахождения статического прогиба y(x) нагруженной струны с закрепленными концами РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ , b y a y b x a , x f x y 0 ) ( ) ( ; ) ( ) ( 20.01.2013 101 где f(x) – изгибающая нагрузка на единицу длины струны, деленная на упругость струны. В задаче об изгибе горизонтальной балки, лежащей на двух опорах, под действием распределенной поперечной нагрузки q(x) q(x) 20.01.2013 102 вертикальный статический прогиб y(x) приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению где EI(x) – жесткость балки при изгибе; M(x) – изгибающий момент. , l y y x q x y x EI x EI x M x y 0 ) ( ) 0 ( ); ( ) ) ( ) ( ( или ) ( ) ( ) ( 20.01.2013 103 Для уравнений или систем более высокого порядка возможны случаи, когда часть условий задана во внутренних точках отрезка. Такие условия называют внутренними краевыми. Например, если упругая балка постоянной жесткости лежит в четырех точках x i на опорах, то краевая задача ставится следующим образом: . 4 3 2 1 0 ) ( , , ) ( ) ( ) ( 4 3 2 1 4 4 b x x x x a , , , , i , x y b x a EI x q x f , x f dx y d i 20.01.2013 104 Методы решения таких задач делят на две группы: Сведение решения краевой задачи к решению серии задач Коши (метод стрельбы). Конечно-разностные методы. 20.01.2013 105 Идея метода заключается в сведении краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений путем замены производных в дифференциальном уравнении и граничных условиях конечно-разностными отношениями. Метод конечных разностей 20.01.2013 106 Решение осуществляется в три этапа: 1. Область изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых разностной сеткой. 2. Дифференциальные уравнения и граничные условия заменяются своими разностными аналогами. В результате получается система алгебраических уравнений. 3. Полученная система уравнений решается относительно искомых значений функции известным методом. 20.01.2013 107 Рассмотрим идею метода на примере краевой задачи для линейного дифуравнения второго порядка: при линейных граничных условиях третьего рода где p(x), q(x), f(x) – непрерывные функции на отрезке [a, b] . ] [ ) ( ) ( ) ( b a, x , x f y x q y x p y d, b y d b y d c, a y c a y c ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 20.01.2013 108 Согласно первого этапа метода введем на [ a, b ] сетку из n+1 узловых точек с постоянным шагом h : x i = x 0 + i h, i = 0, 1, …, n, где x 0 = a, x n = b, h = (b - a) / n . Будем считать, что все переменные задачи определены только в узловых точках. Требуется найти значения y i в узловых точках. 20.01.2013 109 Согласно второго этапа метода первую и вторую производные, входящие в дифференциальное уравнение аппроксимируем (приближенно заменим) конечно- разностными отношениями. Для внутренних узлов будем иметь . 1 2 , 1 2 2 2 1 1 1 1 n , , i , h y y y y , h y y y i i i i i i i |
