Учебное пособие. М.: «Архитектура С»

 
(деформации 
материала) внутри замкнутой области 
G
 
(по сечению стержня), то есть 
удовлетворяющей уравнению Лапласа 
 
 
 
если ее значения на границе 
Г
 
области 
известны (заданы): 
 
 
 
,
     
0
2
2
2
2
G
x,y
,
y
u
x
u









 
,
,
)
,
(
y
x
y
x
u
Г



20.01.2013 
174 
Для упрощения примем, что область 
решения 
G
 
имеет прямоугольную 
форму 
Тогда граничные условия можно 
представить в следующем виде: 
 
 
 
где                                         - заданные 
функции. 
Функция 
u(x,
 
y)
 
непрерывна на границе:                                   
 
 
 
}.
0
,
0
{
b
y
a
x
G





],
,
0
[
),
(
)
,
(
),
(
)
0
,
(
];
,
0
[
),
(
)
,
(
),
(
)
,
0
(
4
3
2
1
a
x
x
f
b
x
u
x
f
x
u
b
y
y
f
y
a
u
y
f
y
u






)
(
),
(
 
),
(
),
(
4
3
2
1
x
f
x
f
y
 f
y
f
).
(
)
(
 
),
(
)
0
(
 
),
0
(
)
(
 
),
0
(
)
0
(
4
2
3
2
4
1
3
1
a
f
b
f
a
f
f
f
b
f
f
f





20.01.2013 
175 
Для решения используем 
метод сеток
. 
На первом этапе метода в области 
решения 
G
 
строим равномерную сетку 
из узловых точек. Для упрощения  
примем, что шаги сетки по 
x
 
и 
y
  
одинаковы, т.е.  
h
x
 = h
y
 = h
. 
Координаты узловых точек: 
 
 
Искомую функцию в узловых точках 
обозначим 
u
i,
 
j
 = u(x
i 
, y
j
).
  
                                    
 
.
,
,
1
,
0
,
;
,
,
1
,
0
,
m
j
h
j
y
n
i
h
i
x
j
i









20.01.2013 
176 
Область решения задачи Дирихле
                    
 
 
 
 
x
0
 
y
0
 
y 
y
m
=b 
y
j+1
 
y
j-1
 
y
j
 
x 
x
n
 
x
i+1
 
x
i-1
  x
i
 
u
i,j
 
a 
0 
G 
h
x
 
h
y
 

20.01.2013 
177 
На втором этапе в каждом внутреннем 
узле сетки аппроксимируем частные 
производные, входящие в уравнение 
Лапласа, конечно-разностными 
отношениями:                     
 
 
 
 
,
2
2
,
1
,
,
1
2
2
h
u
u
u
x
u
j
i
j
i
j
i







.
2
2
1
,
,
1
,
2
2
h
u
u
u
y
u
j
i
j
i
j
i








20.01.2013 
178 
Получим систему сеточных уравнений 
вида 
 
 
 
 
После несложных преобразований 
перейдем к виду 
 
 
                     
 
.
1
,
,
2
,
1
,
1
,
,
2
,
1
,
0
2
2
2
1
,
,
1
,
2
,
1
,
,
1














m
j
n
i
h
u
u
u
h
u
u
u
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i


.
4
1
,
1
,
,
1
,
1
,








j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u
u

20.01.2013 
179 
На третьем этапе нужно решить данную 
систему уравнений с целью получения 
значений  
u
i,j
  
во всех внутренних узлах 
сетки. Линейная система с сильно 
разряженной матрицей коэффициентов 
наиболее эффективно решается 
итерационными методами.  
 
 
                     
 

20.01.2013 
180 
Воспользуемся методом Зейделя, 
который состоит в построении 
последовательности итераций вида 
 
 
 
Здесь верхний индекс означает номер 
итерации. 
Значения  
u
i-1,j
  
и  
u
i,j-1
  
берутся из 
(k+1)
-
й 
итерации, поэтому обход внутренних 
узлов в расчете должен проходить 
слева направо и снизу вверх.  
 


.
4
1
)
1
(
1
,
)
(
1
,
)
1
(
,
1
)
(
,
1
)
1
(
,











k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
u
u
u
u
u

20.01.2013 
181 
В граничных узловых точках значения 
функции  
u
i,0
, u
i,m
, u
0,j
, u
n,j
  
известны 
точно и не изменяются в ходе расчета. 
Для старта итераций необходимо знать 
начальное приближение, т.е. значения 
функции на нулевой итерации. 
На практике в качестве хорошего 
начального приближения можно 
принять значение функции, полученное 
интерполяцией на область 
G
 
значений 
функции в граничных узлах. 
                     
 

20.01.2013 
182 
Итерации заканчиваются при 
выполнении условия 
 
 
 
где  
ε
 - 
заданная погрешность решения 
системы сеточных уравнений.  
 
 
 
 
                     
 
,
max
)
(
,
)
1
(
,
,




k
j
i
k
j
i
j
i
u
u

20.01.2013 
183 
Общая погрешность численного 
решения уравнения Лапласа 
складывается из двух погрешностей: 
 
−
погрешности конечно-разностной 
аппроксимации производных в 
дифференциальном уравнении, 
зависящей от выбранного шага 
сетки; 
−
погрешности приближенного 
решения системы сеточных 
уравнений. 
 
 

20.01.2013 
184 
 
 
 
 
 
 
 
 
                     
 
начало 
ввод 
a,b,h,

 
j=0,m 
i=1, n-1 
)
(
)
(
2
1
0
y
f
u
y
f
u
j
n
j


   j=1, m-1 
n=a/h 
m=b/h 
y=jh 
i=0,n 
)
(
)
(
4
3
0
x
f
u
x
f
u
m
i
i


x=ih 
1

j
i
u
нет 
да 
конец 
r>p 
u[n,m] 
p=r 
p=0 
i=1, n-1 
   j=1, m-1 
j
i
u
s
r


s
u
j
i



p
4
/
)
(
1
,
1
,
,
1
,
1








j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u
s
да 
нет 

20.01.2013 
185 
Для сокращения числа итераций 
применяют релаксационные методы 
решения системы сеточных уравнений, 
в которых итерационный процесс  
строится по формуле 
 
 
где  
ω
  - 
параметр релаксации. 
При 
ω
 
> 1 метод верхней релаксации, 
при 
ω
 
= 1 метод полной релаксации и 
при 
ω
 
< 1 методом нижней релаксации. 
 
 


,
4
1
)
1
(
1
,
)
(
1
,
)
1
(
,
1
)
(
,
1
)
(
,
)
1
(
,













k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
u
u
u
u
u
u



20.01.2013 
186 
При решении задач для уравнений 
параболического и 
гиперболического типов 
используются различные 
разностные схемы, среди которых 
важное место занимают так 
называемые явные и неявные 
разностные схемы.  
 
 
Решение задачи 
теплопроводности  

20.01.2013 
187 
Рассмотрим эти схемы на примере 
классического уравнения 
параболического типа - 
уравнения 
теплопроводности
. Задача состоит 
в отыскании функции 
u(x, t)
, 
удовлетворяющей в области                    
.
                                 
уравнению  
 
 
 
 
 
}
0
,
0
{




t
l
x
G
,
a
const
a
,
x
u
a
t
u
0
,
   
2
2








20.01.2013 
188 
начальному условию (
t = 0
) 
 
 
 
  
и граничным условиям 
 
Так ставится задача о распростране-
нии тепла в однородном стержне 
длины 
l
, на концах которого 
поддерживается заданный темпера-
турный режим. В этой задаче 
a
 
– 
коэффициент теплопроводности 
материала стержня.
           
 
)
(
)
0
,
(
x
f
x
u

).
(
)
,
(
   
),
(
)
,
0
(
2
1
t
t
l
u
t
t
u





20.01.2013 
189 
Замена              приводит уравнение к 
виду 
 
 
 
                
 
поэтому примем  
a = 1
. 
В эволюционной задаче область 
решения является полубесконечной 
(
t > 0
). Для проведения численных 
расчетов ограничим область по оси 
времени (
0 < t < T
). 
 
 
,
x
u
t
u
2
2





at
t


20.01.2013 
190 
Решение будем искать методом сеток. В 
области решения строим равномерную 
сетку с шагом 
h
 
по 
x
 
и 
τ
  
в направлении 
t
. Координаты узлов обозначим: 
 
 
 
где   
h = l / n  
и  
τ = T / m
. Искомую 
сеточную функцию 
u(x,t)
 
в узлах 
обозначим  
  
,
,
,
1
,
0
,
;
,
,
1
,
0
,
m
j
j
t
n
i
h
i
x
j
i









).
,
(
,
j
i
j
i
t
x
u
u


20.01.2013 
191 
Область решения задачи 
теплопроводности