Учебное пособие. М.: «Архитектура С»

второго  порядка  и  выше,  получим 
 
у
i+1 
= у
i
 + h∙y'
i
 = у
i
 + h∙f (x
i
, y
i
),  i = 0, 1, ...
                                  
Это  основная  расчетная  формула  
метода  Эйлера. 
 
      
.
)
(
!
2
1
)
(
)
(
)
(
2








i
i
i
i
x
y
h
x
y
h
x
y
h
x
y

20.01.2013 
130 
Так  как  в  расчетной  формуле   
отбрасывают  члены,  содержащие  
h
  
во 
второй  степени  и  более,  то  
погрешность  на  каждом  шаге  метода   
пропорциональна  
h
2
.  Метод  Эйлера  
называют  методом  первого  порядка  
точности  на  интервале  решения. 
      

20.01.2013 
131 
Пример. Методом Эйлера найти решение задачи Коши 
 
 
 
 
в  трех  последовательных  точках:  
x
1
 = 0,2
;  
x
2
 = 0,4
;  
x
3
 = 0,6
.  Найти  точное  решение  задачи  и  найти  
величину  абсолютной  погрешности. 
Из  условия  задачи  шаг  
h = 0,2
.   
Используя  расчетную  формулу  Эйлера  найдем 
приближенное  решение  задачи  Коши: 
 







5
,
1
)
0
(
y
x
y
y
.
464
,
2
)
4
,
0
12
,
2
(
2
,
0
12
,
2
)
(
2
,
0
;
12
,
2
)
2
,
0
8
,
1
(
2
,
0
8
,
1
)
(
2
,
0
;
8
,
1
5
,
1
2
,
0
5
,
1
)
(
2
,
0
2
2
2
3
1
1
1
2
0
0
0
1























x
y
y
y
x
y
y
y
x
y
y
y

20.01.2013 
132 
Получили  численное  решение  задачи  Коши: 
 
 
 
 
Точное  решение  этой  задачи: 
 
Вычислим  значения  точного решения  в  указанных  
точках. 
 
 
 
Абсолютную  погрешность  вычислим  как 
максимальную  разницу  приближенных  и  точных   
значений  -  R ≈ 0,05. 
 
x
i
 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
y
i
 
1.5 
1.8 
2.12 
2.464 
.
1
5
,
0
)
(



x
e
x
y
x
x
i
 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
y
i
 
1.5 
1.811 
2.146 
2.511 

20.01.2013 
133 
Если  при  разложении  функции  
y(x)
  
в  
ряд  Тейлора  сохранить  член  с  
h
2
,  то  
очевидно,  что  погрешность  вычисления  
уменьшится  и  будет  пропорциональна  
h
3
.  Тогда,  отбрасывая  члены  выше  
второго  порядка,  получим: 
 
 
   
Модифицированный  метод  
Эйлера 
).
(
!
2
1
)
(
)
(
)
(
2
i
i
i
i
x
y
h
x
y
h
x
y
h
x
y







20.01.2013 
134 
Для  расчета  нужно  знать  вторую  
производную.  Ее  можно  приближенно  
заменить  разностным  отношением 
 
 
 
Тогда  
 
 
 
или 
.
)
(
)
(
)
(
h
x
y
h
x
y
x
y
x
y
i
i
i












)
(
)
(
2
)
(
)
(
i
i
i
i
x
y
h
x
y
h
x
y
h
x
y









.
)
(
)
(
2
1
1
1






i
i
i
i
i
i
y
,
x
f
y
,
x
f
h
y
y

20.01.2013 
135 
Геометрически  это  означает,  что  
вместо  наклона  касательной  к  
истинной  кривой  в  точке  
(х
i 
, y
i
)
,  
который  используется  в  формуле  
Эйлера,  здесь  применяется  среднее  
значение  наклонов  касательных  в   
точке  
(х
i 
, y
i
)
  
и  последующей  точке   
(х
i+1 
, y
i+1
)
. 
Поскольку  
y
i+1
  
неизвестно,  то  
предварительно  его  можно  получить  
по  формуле  Эйлера. 
 

20.01.2013 
136 
Расчетные  формулы  
модифицированного  метода  Эйлера: 
 
 
 
 
 
 
                       
i = 0, 1, …
 
,
)
(
*
1
i
i
i
i
y
,
x
f
h
y
y






,
)
(
)
(
2
*
1
1
1






i
i
i
i
i
i
y
,
x
f
y
,
x
f
h
y
y

20.01.2013 
137 
Модифицированный  метод  Эйлера  -  
метод  второго  порядка  точности  на  
интервале  решения.    
 
 
 
 

20.01.2013 
138 
Метод  Рунге-Кутта  по  сути  объединяет  
методы  решения  задачи  Коши  
различного  порядка  точности.  В  
формуле  Эйлера  первого  порядка  
точности  для  вычисления  
y
i+1
  
используется  только  одно  значение  
наклона  касательной 
 
f (х
i 
, y
i
)
,  в  
модифицированных  формулах  второго 
порядка точности -  два  значения  
наклона  
f (х
i 
, y
i
)
  
и  
f (х
i+1 
, y
i+1
)
.  
Метод  Рунге-Кутта 

20.01.2013 
139 
Следовательно,  для  дальнейшего  
повышения  точности  необходимо  в  
формулах  учитывать  большее  число  
наклонов  на  интервале  шага.  На 
практике  наиболее  часто  используют  
метод  Рунге-Кутта  четвертого  порядка  
точности,   для  которого  погрешность  
на  шаге  пропорциональна  
h
5
.  Его  
формулы  используют  четыре  наклона:  
в  начале, в  конце  и  два  в  середине  
шага. 

20.01.2013 
140 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Высокая  точность  этого  метода  
позволяет  увеличить  шаг  
h
  
при       
выполнении  практических  расчетов. 


.
)
(
)
2
2
(
)
2
2
(
)
(
2
2
6
3
4
2
3
1
2
1
4
3
2
1
1
hK
y
h,
x
f
K
,
K
h
y
,
h
x
f
K
,
K
h
y
,
h
x
f
K
,
y
,
x
f
K
,
K
K
K
K
h
y
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i

















20.01.2013 
141 
Формулы  Рунге-Кутта  любого  порядка  
точности  можно  использовать  для  
решения  систем  дифференциальных 
уравнений  и,  следовательно,  для  
решения  дифференциальных   
уравнений  более  высоких  порядков,   
так  как  любое  дифуравнение  
п
-
го  
порядка  можно  свести  к  
п  
 
дифуравнениям  первого  порядка. 

20.01.2013 
142 
В  качестве  примера  рассмотрим задачу 
Коши  для  системы,  состоящей  из  двух  
дифференциальных  уравнений  первого 
порядка 
 
 
 
 
 
с  двумя  начальными  условиями:  
 
 
 








,
z
y
x
g
dx
dz
,
z
y
x
f
dx
dy
)
,
,
(
)
,
,
(





.
)
(
)
(
0
0
0
0
z
x
z
,
y
x
y

20.01.2013 
143 
Расчетные формулы Рунге-Кутта для системы 
 
 
 
где 




,
L
L
L
L
h
z
K
K
K
K
h
y
y
i
i
i
i
4
3
2
1
1
4
3
2
1
1
2
2
6
z
  
,
2
2
6












).
(
)
(
)
2
2
2
(
)
2
2
2
(
)
2
2
2
(
)
2
2
2
(
)
(
)
(
3
3
4
3
3
4
2
2
3
2
2
3
1
1
2
1
1
2
1
1
hL
z
,
hK
y
h,
x
g
L
,
hL
z
,
hK
y
h,
x
f
K
,
L
h
z
,
K
h
y
,
h
x
g
L
,
L
h
z
,
K
h
y
,
h
x
f
K
,
L
h
z
,
K
h
y
,
h
x
g
L
,
L
h
z
,
K
h
y
,
h
x
f
K
,
z
,
y
,
x
g
L
,
z
,
y
,
x
f
K
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i



























20.01.2013 
144 
Характеристики одношаговых методов: 
1.
Чтобы вычислить решение в новой 
точке, надо иметь данные лишь в 
одной предыдущей точке 
(
“самостартование” метода).  
2.
В основе всех одношаговых методов 
лежит разложение функции в ряд 
Тейлора, в котором сохраняются 
члены, содержащие 
h
 
в степени до 
p
 
включительно. Тогда число 
p
 
называют порядком метода. 
3.
Имеют низкую вычислительную 
эффективность. 

20.01.2013 
145 
Точность  метода  можно  повысить,  
если  использовать  информацию  о  
поведении  решения  
y(x)
  
в  нескольких  
предыдущих  точках:   
х
i 
,
  
х
i-1 
,   …
 . 
Такие  методы  получили  название  
многошаговых. 
Многошаговые  методы 

20.01.2013 
146 
Метод  Адамса
  
четвертого  порядка  
точности  использует  четыре  точки: 
 
 
 
При  “старте”  метода  необходимо  
знать  решение  в  четырех  начальных  
точках  
х
0 
,
  
х
1 
,  х
2 
,  х
3
 
.  Недостающие  
значения  
y(x)
  
вычисляются  в  точках  
х
1 
,  х
2 
,  х
3 
,  как  правило,  по  методу  
Рунге-Кутта  соответствующего  
порядка. 
)
9
37
59
55
(
24
3
2
1
1













i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
h
y
y

20.01.2013 
147