Учебное пособие. М.: «Архитектура С»

В строительной механике МКЭ 
используется для исследования 
напряженного состояния конструкций 
сложной геометрической формы. 
В основе МКЭ лежит универсальный 
подход, заключающийся в 
представлении геометрии любого 
деформируемого тела в виде 
совокупности элементов простейшей 
формы: линейной, треугольной, 
четырехугольной и др.  
  

20.01.2013 
224 
Примеры конечных элементов: 
 
 
Одномерные 
Плоские 
Пространствен-
ные  

20.01.2013 
225 
Разбиение на конечные элементы 
 
 

20.01.2013 
226 
 

20.01.2013 
227 
Основные этапы МКЭ 
 
 
 
 
1.
Разделение конструкции на малые 
элементы простой формы.  
2.
Выбор схемы интерполяции 
перемещений внутри элементов.  
3.
Определение соотношений между 
силами и перемещениями в узлах.  
4.
Вывод уравнений для системы в 
целом.  
5.
Решение системы линейных 
уравнений. 
6.
Вычисление значений других величин 

20.01.2013 
228 
Разделение на конечные элементы (КЭ) 
можно выполнить множеством разных 
способов, так как выбор размеров, 
формы и ориентации КЭ определяется 
тем, как проще решить данную задачу. 
КЭ плоского тела имеют обычно 
треугольную или четырехугольную 
форму, а КЭ трехмерных тел –  форму 
тетраэдров или гексаэдров. 
Принимают, что КЭ взаимодействуют 
между собой только в заданных 
узловых точках. Узлы и сами КЭ 
нумеруют. 

20.01.2013 
229 
Конечно-элементная модель 
равномерно нагруженной пластины с 
центральным отверстием 
Основными 
неизвестными 
являются 
узловые 
перемещения 

20.01.2013 
230 
На следующем этапе применения МКЭ  
выбирается какая-либо простая схема 
интерполяции, позволяющая выразить 
перемещение в любой точке внутри КЭ 
через его значения в узлах. Обычно 
перемещение задается простым 
полиномом с коэффициентами, 
определяемыми в процессе решения.  

20.01.2013 
231 
Третий этап. Для каждого КЭ 
определяются зависимости между 
узловыми силами и перемещениями. 
Рассмотрим, как пример, плоский КЭ. 
y 
x 
 
j 
i 
O 
k 
R
xi
 
R
yi
 
i 
u
i
 
v
i
 
i 

20.01.2013 
232 
Узлам придаются дополнительные 
связи. Например, для плоской задачи 
достаточно двух связей, исключающих 
линейные перемещения. Узловые 
реакции и узловые перемещения 
определяются своими компонентами в 
принятой системе координат. 
Для упругой деформации между 
реакциями и перемещениями 
существует линейная зависимость 
,
16
15
14
13
12
11
k
k
j
j
i
i
ix
v
k
u
k
v
k
u
k
v
k
u
k
R







20.01.2013 
233 
где  
k
ij
  
– коэффициенты жесткости. 
Такие зависимости можно записать для 
всех шести компонентов узловых сил 
.
66
65
64
63
62
61
56
55
54
53
52
51
46
45
44
43
42
41
36
35
34
33
32
31
26
25
24
23
22
21
16
15
14
13
12
11






























































k
k
j
j
i
i
ky
kx
jy
jx
iy
ix
v
u
v
u
v
u
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
R
R
R
R
R
R

20.01.2013 
234 
Или в матричной форме 
 
 
где  
{R}
 
– вектор узловых реакций; 
 
[K]
 
– 
матрица жесткости
 
КЭ; 
 
{q}
 
– вектор узловых перемещений. 
Данная система линейных уравнений 
отражает условия равновесия КЭ. 
Матрица жесткости КЭ симметричная и 
может быть сформирована на основе 
принципа возможных перемещений. 
 
 
 
,
q
K
R



20.01.2013 
235 
Принцип возможных перемещений 
(принцип Лагранжа) формулируется так. 
Если тело находится в равновесии и 
каждой его точке сообщить малое 
смещение      , допускаемое 
наложенными связями (возможные 
перемещения), то работа всех сил на 
возможных перемещениях равна нулю 
или, по-другому, приращение работы 
внутренних сил       равно работе 
внешних сил        на возможных 
перемещениях, т.е.                 .     
U

u


W

W
U




20.01.2013 
236 
При этом полная потенциальная 
энергия системы                     
минимальна, т.к. 
 
 
Работа внутренних сил (потенциальная 
энергия деформации) в области тела   
 
 
 
где  
σ
 
и 
ε
 
– функции напряжений и 
деформаций в области  
Ω
.               
W
U
П



(1)
         
.
0
)
(
   
;
0





П
W
U
W
U




,
2
1




d
U



20.01.2013 
237 
Работа внешних сил  
 
 
 
где  
p
 
и 
u
 
– функции нагрузки и 
перемещений по области  
Ω
. 
Вариационный принцип Лагранжа 
позволяет получить систему уравнений 
равновесия исходя из условия 
минимума функционала полной 
потенциальной энергии системы. 
,




d
pu
W

20.01.2013 
238 
Если считать, что перемещения всех 
точек тела 
u
 
есть известные функции 
узловых перемещений 
q
i 
, 
то из (1)    
 
                                                          
или 
 
                
)
,
,
2
,
1
(
   
0
n
i
q
W
q
U
q
П
i
i
i











































.
)
(
)
(
)
(
)
(
(2)
         
        
          
          
          
   
          
          
;
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
q
q
W
q
q
U
q
q
U
q
q
U
q
q
W
q
q
U
q
q
U
q
q
U





20.01.2013 
239 
Сравнивая с системой равновесия КЭ 
                        
можно представить 
 
 
    
 
 
 
где  
R
i
  - 
узловые нагрузки. 
               
),
,
,
2
,
1
(
   
)
(
;
)
(
n
i
R
q
q
W
q
k
q
q
U
i
i
i
j
ij
i
j








 
   
R
q
K



20.01.2013 
240 
 
Коэффициент жесткости 
k
ij
 
– это 
усилие, возникающее по направлению 
i
-
той связи от 
j
-
го единичного 
перемещения при условии, что все 
остальные перемещения равны нулю. 
Из равенства работ внутренних и 
внешних сил получим 
 
 
 
 
.




d
k
i
j
ij



20.01.2013 
241 
На четвертом этапе МКЭ уравнения 
равновесия отдельных КЭ объединяют 
в одну систему. При этом матрицы 
жесткости КЭ суммируют и получают 
глобальную матрицу жесткости
.  
Необходимо также выполнить условия 
равновесия сил, учесть граничные 
условия (статические и 
кинематические). 
Получим систему линейных уравнений 
для всего тела (конструкции). 

20.01.2013 
242 
 
 
где              – векторы узловых сил и   
 
перемещений всего тела; 
  
       
– глобальная матрица жесткости 
Матрица        имеет размерность              , 
где 
n
 
– число КЭ, а 
m
 
– число узлов. Она 
имеет много нулевых элементов. 
На следующем этапе полученную 
систему линейных уравнений решают 
относительно узловых перемещений 
прямыми или итерационными методами.   
 
 
 
,
P
q
K


 
 
q
P ,
 
K
nm
nm

 
K

20.01.2013 
243 
На последнем этапе из полученного 
распределения перемещений по 
расчетной области, можно с помощью 
обычных уравнений теории упругости 
найти распределение напряжений и 
деформаций. 

20.01.2013 
244 
В качестве примера 
применения МКЭ рассмотрим  
стержневой КЭ с двумя 
узлами, нагруженный силами 
N
1
 
и 
N
2
, работающий на 
растяжение-сжатие. 
      - 
объемный вес стержня. 
      - 
площадь сечения.  
В каждом узле одна степень 
свободы. Вектор узловых 
перемещений КЭ: 
Вектор узловых сил: 
                           . 
1 
2 
l 
x=0 
x=l 
N
1
 
u
1
 
u
2
 
N
2
 
x 
γA 

A
  

T
u
u
q
2
1
,

  

T
N
N
P
2
1
,


20.01.2013 
245 
Перемещение в произвольной точке с 
координатой 
x
 
аппроксимируем линейной 
функцией 
где  
α
1
, α
2
 
– постоянные коэффициенты. 
 
В матричной записи:   
 
или                           
где                             - матрица базисных   
 
 
функций; 
                                   - 
вектор постоянных. 
,
)
(
2
1
x
x
u




 










2
1
1


x
u
  

T
2
1
,




 
 
 
,



F
u
  

x
F
1


20.01.2013 
246 
Получим выражение для вектора        . 
 
                                             
или  
 
где                          - матрица узловых  
 
координат. 
Отсюда   
 
Подставим         в 
 
 
 
:
u
 





















2
1
2
1
1
0
1


l
u
u
q
 

 
 
 
,



C
q
 







l
С
1
0
1
 
 
 
 
.
1
1
0
1
1
q
l
l
q
C













 


20.01.2013 
247 
 
 
Обозначим 
 
 
 
 
 
 
и тогда   
 
        - 
функции формы или координатные 
функции. 
 
      




 















l
x
l
x
l
l
l
x
C
F
Ф
1
1
0
1
1
1
 
   
 


 
.
1
1
0
1
1
1
q
l
l
x
q
C
F
u














 
 
 
.
q
Ф
u


 
Ф

20.01.2013 
248 
Найдем выражение для деформаций: 
 
                         
или 
 
 
где                    . 
 
Обозначим                     и