Учебное пособие. М.: «Архитектура С»

Дифференциальное  уравнение  во  
внутренних  узловых  точках  можно   
приближенно  заменить  линейной  
системой  алгебраических  уравнений 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
1
 
 
2
 
1
        
          
2
2
1
1
2
1
1












n
,
,
,
i
,
f
y
q
h
y
y
p
h
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i


20.01.2013 
111 
Кроме  того                                                                                                                  
граничные  условия  дополнительно  
дают  еще  два  уравнения 
  
 
 
 
 
 
Получаем  систему  из  
n+1
  
линейных  
уравнений  с  
n+1
  
неизвестными 
y
0
,  y
1
,  …,  y
n
.  













.
1
2
1
0
1
2
0
1
d
h
y
y
d
y
d
c,
h
y
y
c
y
c
n
n
n

20.01.2013 
112 
Приведем  систему  к  виду 
  
 
 
 
и  введем  обозначения 
 
  


.
1
 
 
2
 
1
        
          
2
1
2
2
1
2
1
2
1








 








 


n
,
,
,
i
,
h
f
h
p
y
h
q
y
h
p
y
i
i
i
i
i
i
i



.
1
 
 
2
 
1
        
;
2
1
;
2
    
;
2
1
2
2








 








 

n
,
,
,
i
,
h
f
h
p
h
q
h
p
i
i
i
i
i
i
i
i






20.01.2013 
113 
Получим 
  
 
Граничные  условия  также  преобразуем  
к  виду 
 
 
 
 
где 
 
  
.
1
 
 
2
 
1
     
1
1







n
,
,
,
i
,
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i













,
y
y
,
y
y
n
n
n
n
n






1
0
1
0
0
0
.
    
;
    
;
;
    
;
    
;
2
1
2
0
2
0
2
1
0
dh
d
h
d
d
ch
c
c
h
с
n
n
n
















20.01.2013 
114 
Перепишем  систему  в  виде 
  
 
 
 
 
Согласно  третьего  этапа  необходимо  
решить  данную  систему  линейных 
алгебраических  уравнений,  каждое  из  
которых  содержит  три  соседних   
неизвестных:  
y
i-1 
,  y
i  
,  y
i+1
.  
  
 

















.
   
          
.
1
 
 
2
 
1
    
  
  
  
 
 
   
          
1
1
1
0
1
0
0
0
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
y
y
n
,
,
,
i
,
y
y
y
,
y
y












20.01.2013 
115 
Для  решения  таких  систем  разработан  
специальный  метод,  получивший  
название  -  
метод  прогонки
.  
Метод  прогонки  представляет  собой  
модификацию  метода  исключения  
Гаусса  для  системы  с  
трехдиагональной  матрицей  
коэффициентов.  Алгоритм  метода  
включает  прямой  и  обратный  ход. 
На  прямом  ходе  (вниз  по  системе)  
вычисляются  так  называемые  
прогоночные   коэффициенты. 
 
 

20.01.2013 
116 
Прямой  ход  начинается  с  определения  
начальных  прогоночных   
коэффициентов 
 
 
 
и  затем  по  рекуррентным  
соотношениям  вычисляются  
прогоночные  коэффициенты  
v
i
  
и  
u
i
 
: 
 
 
 
 
 
2
1
0
0
0
2
1
2
0
0
0
,
c
h
c
ch
u
c
h
c
c
v












1
,
,
2
,
1
   
  
1
1
1











n
i
,
v
u
u
,
v
v
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i









20.01.2013 
117 
На  обратном  ходе  (вверх  по  системе) 
через  прогоночные  коэффициенты  
вычисляются  искомые  неизвестные  
системы. 
Сначала  вычисляется 
 
 
 
а  затем  остальные  неизвестные  по  
рекуррентной  формуле 
 
         
y
i
 = u
i
 + v
i
 ∙y
i+1  
,   i = n-1, n-2, … , 0
.  
 
 
,
)
1
(
 
1
2
1
1
2
1
1












n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
v
d
h
d
u
d
dh
v
u
u
y





20.01.2013 
118 
Устойчивость  и  корректность  метода  
прогонки  обеспечивается  условием 
преобладания  диагональных  
коэффициентов  в  трехдиагональной  
системе  
 
 
 
 
 
 
  
.
 
 
1
0
      
 
n
,
,
,
i
,
i
i
i








20.01.2013 
119 
 
Алгоритм  метода  прогонки 
  
1



i
i
i
i
y
v
u
y
конец 
i=n–1, 0,-1 
)
1
(
1
2
1
1
2






n
n
n
v
d
h
d
dh
u
d
y
y
i
 
i=0, n 
начало 
ввод 
a, b, n 
ввод 
c
1
, c
2
, c, 
d
1
, d
2
, d 
2
1
0
c
h
c
ch
u


2
1
2
0
c
h
c
c
v



n
a
b
h


1




i
i
v
v



1
1





i
i
i
v
u
u




i=1, n - 1 
h
i
a
x



2
)
(
1
h
x
p



2
)
(
1
h
x
p



2
)
(
2


h
x
q

2
)
( h
x
f



20.01.2013 
120 
Погрешность  в  методе  конечных  
разностей  возникает  при  замене  
производных  задачи  на  их  конечно-
разностные  аналоги.  Эта  погрешность  
тем  меньше,  чем  меньше  назначен  шаг  
h
  
сетки  узловых  точек  или,  по-
другому,  чем  больше  их  число  
n
.          
 
 
 
 
 

20.01.2013 
121 
Методы решения задачи 
Коши 

20.01.2013 
122 
Задача  Коши  распространена  во  многих  
областях  науки  и  техники,  поэтому 
существует  большое  число  
приближенных  методов  ее  решения.  
Методы делят на две группы: 

  
Одношаговые  методы  (методы  
Эйлера  и  Рунге – Кутта). 

  
Многошаговые  методы  (методы  
прогноза  и  коррекции). 
РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧИ  КОШИ   

20.01.2013 
123 
Пошаговые  методы  предусматривают  
получение  последовательности  
приближенных  значений  
y
i
  
для  
заданных  дискретных  значений  
аргумента  
x
i
  
из  области  решения.  
Значения  
x
i
  
задают,  начиная  с  
начального  
x
0
,  с  постоянным  шагом  
h  
            x
i
 = x
0
 + i∙h  (i = 0,1, …).
   
В  одношаговых  методах  значение  
y
i+1
  
в  последующей  точке  вычисляют  
через  приближенное  значение  
y
i
 
 
в   
одной  предыдущей  точке.   
 

20.01.2013 
124 
В  многошаговых  методах  для 
отыскания  решения  
y
i+1
  
в  
последующей  точке  используется   
информация  о  решении  в  нескольких  
предыдущих  точках.    
 
      

20.01.2013 
125 
Рассмотрим  решение  задачи  Коши  для  
дифференциального  уравнения  первого  
порядка 
 
 
 
(x
0
, y
0
)
  
-  
начальная  точка  решения.   
Метод  Эйлера   






.
)
(
),
,
(
0
0
y
x
y
y
x
f
dx
dy

20.01.2013 
126 
Геометрически  решение  происходит  
следующим  образом. 
От  точки  
x
0
  
делаем  шаг  
h
  
и  
переходим  к  точке  
x
1 
=  x
0 
+ h
. 
Положение  новой  точки  
y
1
  
определяем  
по  наклону  кривой  решения  
y (x)
  
в  
точке  
x
0
 
(через  уравнение  касательной). 
 
      

20.01.2013 
127 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
у' (x
0
)  - 
 
тангенс  угла  наклона  
касательной  в  точке  
x
0
  
вычисляем  из  
дифференциального  уравнения 
      

20.01.2013 
128 
                    
у' (x
0
) 
 
=  f (x
0 
, y
0
).
 
Тогда          
у
1 
= у
0
 + h∙f (x
0 
, y
0
).
 
Строим  аналогично  касательную  в  
точке  
(x
1
, y
1
)
  
и  для  точки  
x
2
  
получим 
                    
у
2 
= у
1
 + h∙f (x
1 
, y
1
).
 
Таким образом,  истинная  кривая  
решения  
y =
 
y(x)
  
приближенно  
представляется  ломаной,  составленной  
из  отрезков  касательных. 
Для  произвольной  
(i+1)
-
ой  точки  
получим     
у
i+1 
= у
i
 + h∙f (x
i 
, y
i
),  i = 0, 1, ...
                                  
 
. 

20.01.2013 
129 
Такую  же  формулу  получим,  
используя  разложение  в  ряд  решения  
 
y (x)
  
в окрестности точки 
x
i
  
по  формуле 
Тейлора  (при  условии,  что  шаг  
h
  
мал)  
                     
 
Пренебрегая  в  разложении  членами