Учебное пособие. М.: «Архитектура С»
Локальную погрешность (на
Download 1.78 Mb. Pdf ko'rish
|
Строительная Информатика (заочники)
|
Локальную погрешность (на i - ом шаге) оценивают по формуле: Можно использовать схему расчета типа “прогноз-корректор” : Значение используют для вычисления через дифуравнение. , 720 251 ) 5 ( 5 y h i ), 9 37 59 55 ( 24 3 2 1 ) 0 ( 1 i i i i i i y y y y h y y , , k , y y y y h y y i i i k i i k i 1 0 ) 5 19 9 ( 24 2 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 0 ( 1 i y ) 0 ( 1 i y где y (5) – 5-я производная. 20.01.2013 148 По сравнению с формулой прогноза формула коррекции имеет в 13 раз меньшую локальную погрешность: Часто в расчетах используют другой многошаговый метод четвертого порядка точности - метод Милна . Он предлагает более простые расчетные формулы с меньшей локальной погрешностью, но имеет и недостаток - расчет не всегда устойчив. . 720 19 ) 5 ( 5 y h i 20.01.2013 149 Формула Милна для прогноза: формула Симпсона для коррекции: Локальная погрешность на шаге: . 90 1 ) 5 ( 5 y h i ), 2 2 ( 3 4 2 1 3 ) 0 ( 1 i i i i i y y y h y y 2 1 0 ) 4 ( 3 1 ) ( 1 1 ) 1 ( 1 , , k , y y y h y y i i k i i k i 20.01.2013 150 Особенности многошаговых методов: 1. Не обладают свойством " самостартования". Для получения исходных значений используют какой-либо одношаговый метод. 2. Позволяют легко оценить погрешность на шаге, что позволяет увеличить допустимый шаг и повысить эффективность метода. 3. Требуют почти вдвое меньше машинного времени, чем одношаговые методы сравнимой точности. 20.01.2013 152 Многие инженерные задачи в таких областях, как механика сплошных сред, теория упругости, термодинамика и в других, математически описываются дифференциальными уравнениями, в которых искомая величина зависит от нескольких других величин. Такие уравнения называют уравнениями в частных производных. Другое название - уравнения математической физики . Основные понятия и классификация уравнений 20.01.2013 153 Общий вид дифференциального уравнения в частных производных Здесь Если f(x 1 , ..., x k ) = 0 , то уравнение называется однородным . Решением уравнения является такая функция u(x 1 , x 2 , …, x k ) , которая обращает его в тождество. . 1 2 1 1 1 2 1 k p k p p n k k ,x , x f x x x u , , x u x u ,u, x x F k . 2 1 n p p p k 20.01.2013 154 В классических уравнениях математической физики в качестве независимых переменных присутствуют время и пространственные координаты. Задача называется стационарной , если решение не зависит от времени, иначе - нестационарной или эволюционной . Задачи с одной пространственной переменной называются одномерными, с двумя - двумерными и т.д. 20.01.2013 155 Такие уравнения классифицируют либо в зависимости от их математической природы, либо в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач. Запишем уравнение второго порядка в канонической форме где А, В, С – коэффициенты-функции. , y u , x u x,y,u, F y u x,y C y x u x,y B x u x,y A 0 2 2 2 2 2 20.01.2013 156 Дополнительными условиями могут служить граничные условия (краевая задача) или начальные условия (задача Коши), а также комбинация тех и других (смешанная краевая задача). Математическая классификация зависит от характера функций А, В и С . Обозначим D = В 2 – АС . При D = 0 уравнение называется параболическим , при D > 0 – гиперболическим , а при D < 0 – эллиптическим . 20.01.2013 157 Эллиптические уравнения описывают установившиеся (стационарные) процессы, т. е. задача ставится в замкнутой области и в каждой точке границы этой области задаются граничные условия. Примером такого типа уравнения является уравнение Лапласа . 0 2 2 2 2 y u x u u 20.01.2013 158 Параболическими и гиперболическими уравнениями описываются эволюционные процессы (процессы "распространения"). В таких задачах на одной части границы ставятся граничные условия, на другой - начальные. Примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности, а гиперболического типа - волновое уравнение. 20.01.2013 159 Классическими примерами уравнений эллиптического типа являются уравнение Лапласа и уравнение Пуассона Постановка стационарной задачи G x,y , y u x u 0 2 2 2 2 , ) , ( 2 2 2 2 G x,y , y x f y u x u 20.01.2013 160 где G - замкнутая область. C тавится краевая задача нахождения распределения внутри области G искомой функции u(x, y) , удовлетворяющей этим уравнениям, при условии, что на границах Г этой области значения функции u(x, y) известны (заданы) в виде граничных условий ). , ( y x u n u Г Г 20.01.2013 161 Здесь производная функции u(x, y) берется в направлении внешней нормали n по отношению к границе Г области G . При имеем первую краевую задачу для уравнения Лапласа ( задача Дирихле ), при вторую краевую задачу ( задача Неймана ), а при третью краевую задачу ( смешанная задача ). 1 0 , 0 , 0 1 , 20.01.2013 162 Для решения задач с уравнениями в частных производных наибольшее распространение нашел метод конечных разностей. В данном применении он называется метод сеток и сводит решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений с разреженными матрицами коэффициентов. Основные понятия метода сеток 20.01.2013 163 Этапы метода сеток : 1 этап. Построение в области решения сетки из узловых точек. Конфигурация сетки должна соответствовать характеру задачи и граничным условиям, т.е. вид сетки определяется формой области решения. 20.01.2013 164 Виды сеток а) б) в) г) а) – прямоугольная, б) – полярная, в) – треугольная, г) – скошенная 20.01.2013 165 2 этап . Конечно-разностная аппроксимация производных искомой функции, входящих в уравнения задачи. С этой целью выбирают вычислительный шаблон разностной схемы - набор (конфигурацию) узлов, с помощью которых производится замена производных конечными разностями. Шаблон, содержащий р узлов, называется р - точечным. 20.01.2013 166 Например, для аппроксимации производных второго порядка, входящих в оператор Лапласа, применяют пятиточечный шаблон u(x, y) u(x + h, y) u(x - h, y) h y h x u(x, y + h) i, j + 1 u(x, y - h) i, j - 1 i, j i - 1, j i + 1, j 20.01.2013 167 В соответствии с выбранным шаблоном получают выражения для аппроксимации частных производных: ). ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( ), ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 h O h h y x u y x u h y x u y u h O h y h x u y x u y h x u x u 20.01.2013 168 Разностные аппроксимации производных подставляют в уравнения задачи и получают систему алгебраических сеточных уравнений , связывающих значения искомой функции в соседних узлах. 20.01.2013 169 3 этап . Решение полученной системы алгебраических уравнений подходящим методом с целью получения приближенного решения в узлах сетки. Число уравнений системы равно числу узлов сетки и может быть велико. Матрица системы является сильно разреженной (много нулевых элементов). 20.01.2013 170 Прямые методы решения таких систем (если сеточные уравнения – линейные) неэффективны, поэтому их решают с помощью итерационных методов: простой итерации, Зейделя, релаксационных. 20.01.2013 171 Практическое использование метода сеток представляет достаточно сложную задачу в виду широкого разнообразия типов и размеров сеток, видов уравнений в частных производных, возможных конечно-разностных аппроксимаций этих уравнений и методов решения получаемых систем алгебраических уравнений. 20.01.2013 172 В строительной механике, теории упругости часто приходится решать задачи определения деформаций, возникающих в сечении стержня при кручении. Математическая постановка таких задач сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа или Пуассона. Решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения 20.01.2013 173 Требуется найти распределение значений функции u(x, y) Download 1.78 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|