Uchinchi tartibli tenglamalar sistemalarini yechish Kramer qoidasi. Chiziqli tenglamalar

Kramer teoremasi.

Kvadrat sistema matritsasining determinanti nolga teng bo‘lmasa, sistema mos keladi va u bitta yechimga ega bo‘ladi va uni quyidagicha topish mumkin. Kramer formulalari:

qaerda D - tizim matritsasi determinanti,

Δ i- tizim matritsasining determinanti, uning o'rniga i th ustun - o'ng qismlar ustuni.

Tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, tizim izchil yoki nomuvofiq bo'lishi mumkin.

Ushbu usul odatda hajmli hisob-kitoblarga ega bo'lgan kichik tizimlar uchun va
noma'lumlardan 1 tasini aniqlash zarur bo'lganda qo'llaniladi. Usulning murakkabligi shundaki, ko'plab determinantlarni hisoblash kerak.

Kramer usulining tavsifi.

Tenglamalar tizimi mavjud:

3. 
   ta tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan yechish mumkin, bu 2 ta tenglamalar sistemasi uchun yuqorida muhokama qilingan edi.
   

Noma'lumlar koeffitsientlaridan determinantni tuzamiz:
Bu bo'ladi tizim kvalifikatsiyasi. Qachon D≠0, shuning uchun tizim izchil. Endi biz 3 ta qo'shimcha determinant tuzamiz:

,,

Biz tizimni hal qilamiz Kramer formulalari:

Tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechishga misollar.

1-misol. Berilgan tizim:
Keling, uni Kramer usuli bilan hal qilaylik.

Avval siz tizim matritsasining determinantini hisoblashingiz kerak:

Chunki D≠0, demak, Kramer teoremasidan sistema mos keladi va u bitta yechimga ega.

Biz qo'shimcha determinantlarni hisoblaymiz. D 1 determinanti D determinantidan uning birinchi ustunini erkin koeffitsientlar ustuniga almashtirish orqali olinadi. Biz olamiz:


Xuddi shu tarzda, ikkinchi ustunni erkin koeffitsientlar ustuni bilan almashtirib, tizim matritsasining determinantidan D 2 determinantini olamiz:
Birinchi bo'limda biz ba'zi nazariy materiallarni, almashtirish usulini, shuningdek, tizim tenglamalarini muddat bo'yicha qo'shish usulini ko'rib chiqdik. Ushbu sahifa orqali saytga kirgan har bir kishiga birinchi qismni o'qishni tavsiya qilaman. Ehtimol, ba'zi tashrif buyuruvchilar
materialni juda oddiy deb bilishadi, ammo chiziqli tenglamalar tizimini echish jarayonida men yechim bo'yicha bir qator muhim mulohazalar va xulosalar qildim. matematik muammolar umuman.
Va endi biz Kramer qoidasini, shuningdek, teskari matritsa (matritsa usuli) yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echishni tahlil qilamiz. Barcha materiallar sodda, batafsil va aniq taqdim etilgan, deyarli barcha o'quvchilar yuqoridagi usullardan foydalangan holda tizimlarni qanday hal qilishni o'rganishlari mumkin.

Biz birinchi navbatda ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini batafsil ko'rib chiqamiz. Nima uchun? - Oxirida eng oddiy tizim maktab usuli bilan, muddat qo‘shish bilan yechish mumkin!

Gap shundaki, ba'zan bo'lsa ham, lekin shunday vazifa bor - ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimini Kramer formulalari yordamida hal qilish. Ikkinchidan, oddiyroq misol sizga Kramer qoidasidan murakkabroq holatda - uchta noma'lumli uchta tenglama tizimidan qanday foydalanishni tushunishga yordam beradi.
Bundan tashqari, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimlari mavjud bo'lib, ularni aynan Kramer qoidasiga ko'ra yechish tavsiya etiladi!

Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

Birinchi bosqichda biz determinantni hisoblaymiz, u deyiladi tizimning asosiy hal qiluvchi omili. Gauss usuli.

Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana ikkita determinantni
hisoblashimiz kerak:
va
Amalda yuqoridagi aniqlovchilarni ham belgilash mumkin Lotin harfi. Tenglamaning ildizlari quyidagi formulalar bilan topiladi:
,

7-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Yechim: Biz tenglamaning koeffitsientlari juda katta ekanligini ko'ramiz, o'ng tomonda bor o'nli kasrlar vergul bilan. Vergul matematikadan amaliy topshiriqlarda juda kam uchraydigan mehmondir, men bu tizimni ekonometrik masaladan oldim.

Bunday tizimni qanday hal qilish mumkin? Siz bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashga urinib ko'rishingiz mumkin, ammo bu holda siz, albatta, dahshatli tasavvurga ega bo'lgan fraktsiyalarga ega bo'lasiz, ular bilan ishlash juda noqulay va yechim dizayni shunchaki dahshatli ko'rinadi. Siz ikkinchi tenglamani 6 ga ko'paytirishingiz va muddatni ayirish mumkin, ammo bu erda bir xil kasrlar paydo bo'ladi.

Nima qilish kerak? Bunday hollarda Kramerning formulalari yordamga keladi.

;

;


Javob: ,


Ikkala ildizning ham cheksiz dumlari bor va ular taxminan topiladi, bu ekonometriya muammolari uchun juda maqbul (va hatto oddiy).
Bu erda sharhlar kerak emas, chunki vazifa tayyor formulalar bo'yicha hal qilinadi, ammo bitta ogohlantirish mavjud. Ushbu usuldan foydalanganda, majburiy Topshiriqning fragmenti quyidagi qismdir: "shuning uchun tizim noyob yechimga ega". Aks holda, sharhlovchi sizni Kramer teoremasiga hurmatsizlik qilganingiz uchun jazolashi mumkin.

Kalkulyatorda bajarish qulay bo'lgan tekshirish ortiqcha bo'lmaydi: biz tizimning har bir tenglamasining chap tomonidagi taxminiy qiymatlarni almashtiramiz. Natijada, kichik xato bilan, o'ng tomonda joylashgan raqamlarni olish kerak.

8-misol

Javobingizni oddiy noto'g'ri kasrlarda ifodalang. Chek qiling.

Bu mustaqil yechim uchun misol (nazik dizayn va dars oxirida javob).

Biz uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini ko'rib chiqishga murojaat qilamiz: Biz tizimning asosiy determinantini topamiz:
Agar bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki mos kelmaydigan (echimlari yo'q). Bunday holda, Kramer qoidasi yordam bermaydi, siz Gauss usulidan foydalanishingiz kerak.
Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana uchta determinantni hisoblashimiz kerak:
, ,


Va nihoyat, javob formulalar bo'yicha hisoblanadi:

Ko'rib turganingizdek, "uchdan uch" holati "ikkidan ikkiga" holatidan tubdan farq qilmaydi, erkin atamalar ustuni asosiy determinant ustunlari bo'ylab chapdan o'ngga ketma-ket "yuradi".

9-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Yechim: Tizimni Kramer formulalari yordamida yechamiz.

, shuning uchun tizim noyob yechimga ega.

Javob: .
Aslida, qaror tayyor formulalar bo'yicha qabul qilinganligini hisobga olsak, bu erda yana bir bor izoh berish uchun alohida narsa yo'q. Ammo bir nechta eslatmalar mavjud.
Hisob-kitoblar natijasida "yomon" qaytarilmas fraktsiyalar olinadi, masalan: . Men quyidagi "davolash" algoritmini tavsiya qilaman. Agar qo'lda kompyuter bo'lmasa, biz buni qilamiz:

1. 
   Hisob-kitoblarda xatolik bo'lishi mumkin. "Yomon" zarbaga duch kelganingizdan so'ng, darhol tekshirishingiz kerak to'g'ri qayta yozilgan shartdir. Agar shart xatosiz qayta yozilgan bo'lsa, unda siz boshqa qatordagi (ustun) kengayish yordamida determinantlarni qayta hisoblashingiz kerak.
   

2. 
   Agar tekshirish natijasida hech qanday xato topilmagan bo'lsa, unda katta ehtimollik bilan topshiriq shartida xato qilingan. Bunday holda, vazifani oxirigacha xotirjam va EHTIYOT bilan hal qiling, keyin esa tekshirishga ishonch hosil qiling va qarordan keyin uni toza nusxada tuzing. Albatta, kasrli javobni tekshirish yoqimsiz vazifadir, lekin bu har qanday yomon narsa uchun minus qo'yishni yaxshi ko'radigan o'qituvchi uchun qurolsizlantiruvchi dalil bo'ladi. Kasrlar bilan qanday ishlash kerakligi 8-misol uchun javobda batafsil bayon etilgan.
   

Agar sizning qo'lingizda kompyuteringiz bo'lsa, uni tekshirish uchun avtomatlashtirilgan dasturdan foydalaning, uni darsning boshida bepul yuklab olish mumkin. Aytgancha, dasturni darhol ishlatish eng foydalidir (hatto yechimni boshlashdan oldin), siz xato qilgan oraliq bosqichni darhol ko'rasiz! Xuddi shu kalkulyator tizimning yechimini avtomatik ravishda hisoblab chiqadi matritsa usuli.

Ikkinchi izoh. Vaqti-vaqti bilan tenglamalarida ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan tizimlar mavjud, masalan:

Bu erda birinchi tenglamada o'zgaruvchi yo'q, ikkinchisida o'zgaruvchi yo'q. Bunday hollarda asosiy belgilovchini to'g'ri va diqqat bilan yozish juda muhimdir:
- etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nollar qo'yiladi.
Aytgancha, nol joylashgan qatorda (ustun) nol bilan determinantlarni ochish oqilona, chunki hisob-kitoblar sezilarli darajada kamroq.


10-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol (namunani tugatish va dars oxirida javob berish).

3. 
   ta noma'lumli 4 ta tenglamalar sistemasi uchun Kramer formulalari o'xshash printsiplarga muvofiq yoziladi. Jonli misolni Aniqlovchi xususiyatlar darsida
   

ko'rishingiz mumkin. Determinantning tartibini qisqartirish - beshta 4-tartibli aniqlovchi juda echilishi
mumkin. Vazifa allaqachon baxtli talabaning ko'kragidagi professorning tuflisini eslatib tursa-da.