Uchinchi tartibli tenglamalar sistemalarini yechish Kramer qoidasi. Chiziqli tenglamalar

Shunday qilib, muammo (1.20) quyidagi Iordaniya jadvali bilan bog'liq:

1.1-jadval

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a hisoblanadi		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		amn

Jordan 1.1-jadvalda tizimning o'ng qismlari (1.20) yoziladigan chap bosh ustun va mustaqil o'zgaruvchilar yoziladigan yuqori bosh qator mavjud.

Jadvalning qolgan elementlari tizim koeffitsientlarining asosiy matritsasini tashkil qiladi (1.20). Agar matritsani ko'paytirsak A yuqori sarlavha satrining elementlaridan tashkil topgan matritsaga, keyin chap sarlavha ustunining elementlaridan tashkil topgan matritsani olamiz. Ya'ni, mohiyatan Iordaniya jadvali chiziqli tenglamalar tizimini yozishning matritsa shaklidir: . Bunday holda, quyidagi Iordaniya jadvali (1.21) tizimga mos keladi:

1.2-jadval

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b hisoblanadi		b in
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Ruxsat beruvchi element a rs qalin shrift bilan ta’kidlaymiz. Eslatib o'tamiz, Iordaniya istisnolarining bir bosqichini amalga oshirish uchun hal qiluvchi element nolga teng bo'lmasligi kerak. Ruxsat beruvchi elementni o'z ichiga olgan jadval qatori ruxsat beruvchi qator deb ataladi. Yordamchi elementni o'z ichiga olgan ustun yoqish ustuni deb ataladi. Berilgan jadvaldan keyingi jadvalga o'tishda bitta o'zgaruvchi ( x s) jadvalning yuqori sarlavha satridan chap sarlavha ustuniga va aksincha, tizimning bo'sh a'zolaridan biri ( y r) jadvalning chap sarlavha ustunidan yuqori sarlavha qatoriga o'tkaziladi.

Keling, (1.23) va (1.25) formulalardan kelib chiqadigan Iordaniya jadvalidan (1.1) jadvalga (1.2) o'tishda koeffitsientlarni qayta hisoblash algoritmini tavsiflaymiz.

1. 
   Faollashtiruvchi element teskari raqam bilan almashtiriladi:
   

2. 
   Ruxsat beruvchi chiziqning qolgan elementlari ruxsat beruvchi elementga bo'linadi va ishorani teskari tomonga o'zgartiradi:
   
3. 
   Yoqish ustunining qolgan elementlari yoqish elementiga bo'linadi:
   
4. 
   Yechish qatori va yechish ustuniga kiritilmagan elementlar formulalar bo‘yicha qayta hisoblab chiqiladi:
   

Oxirgi formulani eslab qolish oson, agar siz kasrni tashkil etuvchi elementlarni sezsangiz , chorrahada joylashgan i-oh va r-chi qatorlar va j th va

s-chi ustunlar (yechish qatori, yechish ustuni va qayta hisoblab
chiqiladigan element chorrahasida joylashgan satr va ustun). Aniqroq aytganda, formulani yodlashda quyidagi diagrammadan foydalanishingiz mumkin:

-21 -26 -13 -37

Iordaniya istisnolarining birinchi bosqichini bajarib, ustunlarda joylashgan 1.3- jadvalning istalgan elementi x 1 ,…, x 5 (barcha ko'rsatilgan elementlar nolga teng emas). Siz faqat oxirgi ustundagi faollashtiruvchi elementni tanlashingiz kerak emas, chunki mustaqil o'zgaruvchilarni topish kerak x 1 ,…, x 5 . Biz, masalan, koeffitsientni tanlaymiz 1 o'zgaruvchi bilan x 1.3-jadvalning uchinchi qatorida 3 (yoqish elementi qalin harf bilan ko'rsatilgan). 1.4-jadvalga o'tayotganda,
o'zgaruvchi x Yuqori sarlavha qatoridagi 3 raqami chap sarlavha ustunining (uchinchi qator) doimiy 0 ga almashtiriladi. Shu bilan birga, o'zgaruvchan x 3 qolgan o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi.

ip x 3 (1.4-jadval) oldindan eslab qolgan holda 1.4-jadvaldan chiqarib tashlash mumkin. 1.4-jadval, shuningdek, sarlavhaning yuqori satrida nol bo'lgan uchinchi ustunni ham o'z ichiga olmaydi. Gap shundaki, koeffitsientlardan qat'i nazar berilgan ustun b i 3 har bir tenglamaning unga mos keladigan barcha shartlari 0 b i 3 ta tizim nolga teng bo'ladi. Shuning uchun bu koeffitsientlarni hisoblash mumkin emas. Bitta o'zgaruvchini yo'q qilish x 3 va tenglamalardan birini eslab, biz 1.4-jadvalga mos keladigan tizimga kelamiz (chiziq chizilgan holda) x 3). 1.4-jadvalda hal qiluvchi element sifatida tanlash b 14 = -5, 1.5-jadvalga o'ting. 1.5-jadvalda biz birinchi qatorni eslaymiz va to'rtinchi ustun bilan birga jadvaldan chiqarib tashlaymiz (yuqorida nol bilan).

1.5-jadval 1.6-jadval

Oxirgi 1.7-jadvaldan biz quyidagilarni topamiz: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Topilgan o'zgaruvchilarni ketma-ket yodlangan satrlarga almashtirib, qolgan o'zgaruvchilarni topamiz:

Shunday qilib, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. o'zgaruvchan x 5 , siz o'zboshimchalik bilan qiymatlarni belgilashingiz mumkin. Ushbu o'zgaruvchi parametr sifatida ishlaydi x 5 = t. Biz tizimning mosligini isbotladik va uni topdik umumiy qaror:

x 1 = - 3 + 2t x 2 = - 1 - 3t
x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t


x 5 = t

Parametr berish t turli ma'nolar, biz dastlabki tizimga cheksiz ko'p echimlarni olamiz. Shunday qilib, masalan, tizimning yechimi quyidagi o'zgaruvchilar to'plamidir (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Kramer usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechishda determinantlardan foydalanishga asoslangan. Bu yechim jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradi.

Kramer usulidan har bir tenglamada qancha noma’lum bo‘lsa, shuncha chiziqli tenglamalar tizimini yechish mumkin. Agar sistemaning determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda yechimda Kramer usulidan foydalanish mumkin, agar u nolga teng bo'lsa, unday emas. Bundan tashqari, yagona yechimga ega chiziqli tenglamalar tizimini yechishda Kramer usulidan foydalanish mumkin.

Ta'rif. Noma'lumlar koeffitsientlaridan tuzilgan determinant tizimning determinanti deb ataladi va (delta) bilan belgilanadi.

Aniqlovchilar

Tegishli noma'lumlardagi koeffitsientlarni erkin shartlar bilan almashtirish yo'li bilan olinadi:

;
.

Kramer teoremasi. Agar tizimning determinanti nolga teng bo'lmasa, chiziqli tenglamalar tizimi bitta yechimga ega va noma'lum determinantlar nisbatiga teng bo'ladi. Maxrajda sistemaning determinanti, hisoblagich esa koeffitsientlarni noma'lum bilan erkin shartlar bilan almashtirish orqali
sistemaning aniqlovchisidan olingan aniqlovchini o'z ichiga oladi. Bu teorema har qanday tartibli chiziqli tenglamalar tizimi uchun amal qiladi.


1-misol Chiziqli tenglamalar tizimini yeching: Ga binoan Kramer teoremasi bizda ... bor: Demak, (2) sistemaning yechimi:
onlayn kalkulyator, Kramerning yechim usuli.