Урганч давлат университети р. М. Мадрахимов, С. А. Имомкулов, Б. И. Абдуллаев, Ж. Р. Ярметов

1-теорема. функциянинг нуктада дифференциалланувчи булиши учун унинг ортирмаси ни ушбу

куринишда ифодаланиши зарур ва етарли.
Бунда А микдор хамда ларга боглик булмаган микдордир.
Мисол. 1)
мавжуд эмас

2. 
   
   

2-теорема. Агар ва функция нуктада хсилага эга булсалар у холда фукнциялар хам хосилага эга булади бу хосилалар анализда утган формула оркали топилади. Исботи хам худди шундай булади
Натижа. 1) Ихтиёрий купхад комплекс текисликни ихтиёрий нуктасида хосилага эгадир.
2) Ихтиёрий рационал функция нуктадан ташкарида хосилага эгадир.
Фараз килайлик,

функция бирор D сохада (DС) берилган булиб, D булсин.
3- таъриф: Агар хакикий узгарувчили ва функциялар нуктада диференциалланувчи булса, функция нуктада хакикий анализ маъносида (кискача маънода) диференциалланувчи дейилади.
3-теорема. функциянинг нуктада хосилага эга булиши учун

1. 
   нинг нуктада хакикий анализ маъносида диференциалланувчи булиши ва
   
2. 
   ушбу
   

(1)
Коши-Риман шартларининг бажарилиши зарур ва етарли.
Мисол.

Теоремани исботи. Зарурлиги.
функция D нуктада хосилага эга булсин. Хосила таърифига кура

яъни
(2)
булади. Бу ерда



булиб, эса ва ларга боглик ва улар нолга интилганда нолга интилади
.
Энди хамда ларни

деб, (2) тенгликни куйидагига ёзамиз:

Бу тенгликдан, хакикий хамда мавхум кисимларини тенглаб топамиз:
(3)
Демак, ва фнкциялар нуктада дифференциалланувчи. Айни пайтда функция нуктада маънода дифференциалланувчи булади.
Модомики, функция нуктада хосилага эга экан, унда , жумладан
булганда хам

нисбатнинг лимити хар доим га тенг булавервди. (3) тенгликлар булганда
(4)
булганда эса
(5)
тенгликларга келади. (4) муносабатдан

(5) муносабатдан эса

булишини топамиз. Бу тенгликлардан

булиши келиб чикади.
Етарлилиги. Айтайлик функция нуктада маънода дифференциалланувчи булиб, теоремада келтирилган иккинчи шарт бажарилсин. ва функциялар нуктада дифференциалланувчи булгани учун

булади. Бу ерда да ларнинг хар бири нолга интилади. У холда

булади. Теоремани иккинчи шарти

дан фойдаланиб топамиз:


Бу тенгликдан эса
(6)
булиши келиб чикади.
Кейинги тенгликдаги

ифода учун


булади, чунки да яъни да
Шуни эътиборга олиб (6) тенгликда да лимитга утиб

булишини топамиз. Демак., функция нуктада хосилага эга ва

булади. Теорема исбот булди.