Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas

3.3-§. Tenglamalarni taqribiy yechish (Vatarlar va urinmalar usullari).
B iz tenglamalarni taqribiy yechishning ikki usuli – ildiz yotgan oraliqni ketma-ket ikkiga bo‘lish va al-Kishiy usuli bilan tanishmiz. Ularda a; b] kesmada qaralayotgan f (x) funksiyaning uzluksiz, monoton bo‘lishi va tengsizlikning bajarilishi talab etiladi, chunki shu holdagina [a; b] da yagona ildiz mavjud bo‘ladi. Shu shartlarning bajarilishi talab qilinadigan yana ikki muhim usul bilan tanishamiz.
1) Vatarlar usuli. f (x)=0
tenglamaning shu oraliqda yotgan
x* ildizini ε aniqlikda topish kerak
bo‘lsin. A(a; f (a)) va B(b; f (b))
nuqtalardan o‘tkazilgan AB vatar OX
o‘qini x₁ nuqtada kessin, y₁=0 (V.23-rasm).
a nuqtada bo‘lsa, x₀=a va x₁ nuqtalar izlanayotgan x* ildizga boshlang‘ich va birinchi yaqinlashish bo‘ladi (aks holda, bo‘lsa, x₀=b, x₁ lar yaqinlashish bo‘ladi). Agar bo‘lsa, masala hal qilindi va x*≈x₁ deb qabul qilinadi. Aks holda shu kabi hisoblashlar [x₁; b] kesma va A₁B vatarga nisbatan
takrorlanadi va hokazo. x₁ yaqinlashishni aniqlash uchun AB vatarning

tenglamasiga x=x₁, y=0 qo‘yilib, x₁ topiladi:

Shu kabi, x₂ yaqinlashishni topishda (1) dagi a o‘rniga x₁ qo‘yiladi:

va hokazo, har qaysi x_k yaqinlashish oldin topilgan x_k-1 bo‘yicha aniqlanadi:

Bu jarayonda B nuqta qo‘zg‘almas bo‘lishini, x_k yaqinlashishlar x* aniq yechimga quyi tomondan yaqinlashib borishini ko‘ramiz. Agar bo‘lsa, A nuqta qo‘zg‘almas bo‘ladi va x* ga yaqinlashishlar

munosabat bo‘yicha aniqlanadi. Bu holda ok yaqinlashishlar x* ga o‘ng tomondan yaqinlashadi.
1-misol. tenglamani ε=0,0001 gacha aniqlikda yechamiz.
Yechish. Ixtiyoriy tartibda a=-3, b=-2,9 nuqtalarni tanlaymiz. Ularda
f(-2,9)=2,52...<0, f (-3)=4>0, demak, f(2,9)f(3)<0 bo‘lishini ko‘ramiz. Funksiya (-3;-2,9) intervalda uzluksiz, monoton, demak, yagona ildizga ega. Uni topishda vatarlar usuli qo‘llanolganda, oldin x₀ boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi.

Demak, x₀=-2,9. U holda:

ya’ni hali talab qilingan aniqlik ta’minlangan emas va hisoblashlar davom ettirilishi kerak:

Lekin ; hisoblashlar yana davom ettiriladi:

Talab qilingan aniqlikka erishildi. Javob : x*≈-2,94040.
2) Urinmalar usuli. Agar f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz, differensiallanuvchi va f (a) f (b)<0 bo‘lsa, kesmaning uchlaridan birida f (x) grafigiga o‘tkaziladigan urinma OX o‘qini albatta kesadi (V.24-rasm). Kesishish nuqtasi f (x)=0 tenglama

ildizining biror yaqinlashishini beradi. Boshlang‘ich yaqinlashish sifatida [a; b] kesmaning shunday uchi (V.24-a rasmda B nuqta, V.24-b chizmada A nuqta) tanlanadiki, unda f funksiya va uning f hosilasi bir xil ishoraga ega bo‘lsin. Undan o‘tkaziladigan urinma OX o‘qini albatta kesadi va x₁ yaqinlashishni beradi. Bu holda boshqa uchidan o‘tkaziladigan urinma OX o‘qini [a; b] kesmada kesmasligi mumkin. Barcha x_k yaqinlashishlar uchun yuqoridagi kabi rekurrent formulani tuzish maqsadida A(a;f (a)) yoki B(b;f (b)) dan o‘tuvchi urinma tenglamasiga y=0 qo‘yiladi. Jumladan, A nuqtadan o‘tuvchi urinmaning tenglamasi bo‘yicha

yoki
(4)
rekurrent munosabatni, B nuqta bo‘yicha esa

ni hosil qilamiz. Agar boshlang‘ich yaqinlashish sifatida x=a yoki x=b tanlangan bo‘lsa, qilgan x_k yaqinlashishlar ushbu rekurrent formula bo‘yicha topiladi:

2-misol. tenglamani urinmalar usulini qo‘llab yechamiz. 1-misolda ko‘rsatilganidak, ε=0,0001 bo‘lsin.
Yechish. f (x) funksiya [-3;-2,9] kesmada differensiallanadi.
Unda

Bu kesmada fva f(-3) larning ishoralari bir xil musbat. Boshlang‘ich yaqinlashish sifatida x₀=-3 ni olamiz. (6) formuladan foydalanamiz:


hisoblashlar davom ettirilishi kerak:

bo‘lmoqda. Zarur aniqlikka erishildi, hisoblashlar to‘xtatiladi. Izlanayotgan
ildiz: -2,9404.