Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas

III. bob. Hosilaning algebraik masalalarni yechishga tatbiqlari.
3.1-§.Hosila yordamida tengsizliklarni isbotlash.
x=a nuqtada f (x) funksiya uzluksiz va f(a)=0 bo‘lsin. Agar [a;) kesmada f>0 bo‘lsa, shu kesmada funksiya o‘suvchi va x>a larda f (x)>f (a), ya’ni f(x)>0 bo‘ladi. Aksincha, f(x)<0 bo‘lsa, funksiya kamayadi va x>a larda f (x)<f (a), ya’ni f (x)<0 bo‘ladi. Bu ta’kidlar bizga ma’lum. Ulardan tengsizliklarni isbotlashda foydalanamiz.
1-misol. x>1 da tengsizlikning bajarilishini isbot qilamiz.
Isbot. bo‘lsin. Bundan:
da da f>0. U holda
x>1 da
bo‘lishi ma’lum bo‘ladi.
Bu misolni biz Kishi tengsizligidan foydalanib, osonriq hal qilishimiz mumkin edi. Lekin har vaqt ham shunday bo‘lavarmaydi.
2-misol. Agar a>0, x>0, n>1 bo‘lsa,

tengsizlikning o‘rinli bo‘lishini isbot qilamiz.
Isbot. bo‘lsin. x=0 da f (0)=0.
Ikkinchi tomondan, . Agar n>1, x>0, a>0 bo‘lsa,

ya’ni f(x)>0 bo‘ladi. Demak, (0;+) da f(x)>0 va

o‘rinli bo‘lar ekan.
3-misol. Agar a>0, x>0, n>2 bo‘lsa,
(3)
tengsizlikning o‘rinli bo‘lishini isbot qilamiz.
Isbot. bo‘lsin,
bunda f (0)=0.

agar x>0 va n>2 bo‘lsa, f(x)>0 bo‘ladi. Bunga qaraganda (0;+) da f (x)>0, demak, (3) tengsizlik ixtiyoriy a>0 va x>0, n>2 da o‘rinli.
Endi ikkinchi tartibli hosiladan foydalanib, muhim tengsizliklardan yana birini isbot qilamiz.
Agar [a; b] kesmada bo‘lsa, har qanday , 0≤≤1 son uchun

tengsizlik va shu shartlarda bo‘lsa,

tengsizlik bajariladi.
Isbot. [a; b] kesmada bo‘lsa (V.18-rasm), f (x) grafikning shu kesmadagi qismi AB vatardan quyida joylashgan bo‘ladi. Shunga ko‘ra ixtiyoriy x=c[a; b] nuqtada cC ordinata cC₁ ordinatadan katta bo‘la olmaydi: cC<C₁. Ordinatalarni f (x) egri chiziq va AB vatar tenglamalaridan foydalanib topamiz. Agar
vatar

tenglamaga x=c va almashtirish kiritsak,

ni hosil qilamiz, bunda 0≤≤1 bo‘ladi.
Shu kabi ga bo‘yicha c=b+(1-) topib qo‘yilsa,
cC=f(b+(1-)a)
bo‘ladi. Agar topilgan natijalar cC≤cC₁ ga qo‘yilsa, (4) tengsizlik hosil qilinadi.
f bo‘lgan hol ham shunday isbotlanadi. bo‘lgan xususiy hol uchun (4) bo‘yicha

ga ham ega bo‘lamiz.
4-misol. ni isbot qilamiz, bunda a≥0, b>0.
Isbot. Bizda

. (6) munosabatdan foydalanamiz. bo‘layotganidan, bular (6) ga qo‘yilsa, berilgan tengsizlik hosil bo‘ladi.