Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas

c₁ va x nuqtalar c nuqtaning bir tomonida yotganligidan (c₁-c)(x-c)>0, shart bo‘yicha esa f ¢¢<0. Demak, keyingi tenglikdan bo‘lishi ma’lum bo‘ladi.
[a; b] kesma ichida f ¢¢<0 bo‘lgan hol ham shu kabi qaraladi (V.16-b rasm).
2 -teorema . Agar [a; b] kesmada f (x) funksiya grafigi qavariqligi bilan pastga (mos ravishda yuqoriga) tomon yo‘nalgan bo‘lsa, [a;b] kesmaning ichida bu grafik AB vatarning istiga (mos ravishda ustiga) joylashadi, bunda A(a;f (b)), B(b; f (b)) (V.17-a, b rasm).
Isbot. Funksiya grafigi qavariqligi
bilan pastga yo‘nalgan bo‘lsin (V.18-
rasm). Bu holda grafik uning ixtiyoriy
nuqtasidan o‘tkazilgan urinmaning
ustiga joylashadi. Xususan, A nuqta A nuqtadan, B esa B dan yuqorida, C urinish nuqtasi AB vatardan quyida joylashgan bo‘ladi. Bu hol AB yoyning barcha C nuqtalari uchun o‘rinli. Bu hol AB yoyning barcha C nuqtalari uchun o‘rinli bo‘lganidan yoy to‘laligicha AB vatarning ustiga joylashadi.
Grafik qavariqligi bilan yuqoriga qaragan hol ham shu kabi isbotlanadi.
1-misol. f(x)=x⁶ funksiya grafigi qavariqligi bilan qaysi tomonga yo‘nalganligini aniqlaymiz.
Ye c h i sh . . Bunda va faqat x=0 da nolga aylanadi. Demak, f(x)=x⁶ funksiya grafigi barcha nuqtalarda qavariqligi bilan quyi tomonga yo‘nalgan.
2-misol . funksiya grafigi qavariqligi bilan yuqoriga va quyiga tomon yo‘naladigan oraliqlarni topamiz.
Yechish.
Bu tenglik x=-1 va x=1 da nolga aylanadi. Intervallar usuli bilan f¢¢(x) ifoda ishoralari saqlanadigan oraliqlarni aniqlaymiz (jadvalga qarang).

(-,1] va [1,+) intervallarda f (x) funksiya grafigi qavariqligi bilan quyiga, [-1; 1] da esa yuqoriga yo‘nalgan.
3.Funksiya grafigining bukilish nuqtalari. V.5-rasmda tasvirlanishicha, f funksiya x₂ nuqtada f=0 hosilaga ega bo‘lsa-da, funksiya unda ekstremumga erishmaydi: grafigi bukilib, urinmaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga (chizmada urinmaning istidan ustiga) o‘tadi. Bunday nuqtalar f (x) egri chiziqning bukilish
nuqtalari deyiladi.
1-teorema . Agar c nuqtada f funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uzluksiz va nildan farqli bo‘lsa, C(c; f (c)) nuqtada f funksiya grafigi bukilmaydi.
Isbot. Shart bo‘yicha edi. bo‘lsin. f funksiya uzluksiz bo‘lganligidan c nuqta yaqinida ham musbat. Bunga qaraganda f grafik qavariqligi bilan pastga yo‘nalgan bo‘lib, C nuqtadan o‘tuvchi urinmadan yuqorida joylashadi, demak, grafik urinmani kesib o‘tmaydi, bu nuqtada bukilmaydi.
bo‘lgan hil ham shu kabi isbotlanadi.
Xulosa. f (x) funksiya grafigi C(c; f (c)) nuqtada bukilishi uchun yo c nuqtada bo‘lishi, yoki c nuqta f funksiya uchun uzilish nuqtasi bo‘lishi, yoki c nuqtada hosila mavjud bo‘lmasligi kerak.
Bayon qilingan oulisa bukilish nuqtasi bo‘lish uchun zaruriy shartni baradi, lekin bu yetarlilik sharti emas.
Masalan, y=x⁴ funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi x=0 da nolga aylanadi, lekin bu nuqtada grafik bukilmaydi (V.19-rasm).
2-teorema . f (x) funksiya c nuqtada differensiallanuvchi va c nuqtaning h radiusli tashilgan atrofoda hosilaga ega bo‘lsin.Agar c nuqtadan o‘tishda hosila ishorasi o‘zgarsa, C(c; f (c)) nuqta f funksiya grafigining bukilish nuqtasi bo‘ladi.
Isbot. c nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tishda ishorasini «-» dan «+» ga o‘zgarsin. Bu holda f funksiya grafigi [c;h+ c] chap kesmada qavariqligi bilan yuqoriga qaragan va c nuqtadan o‘tuvchi urinmadan quyida joylashgan bo‘ladi, [c;c+h] o‘ng kesmada esa qavariqligi bilan quyiga qaragan bo‘lib, o‘sha urinmaning
ustiga joylashadi. Demak, c nuqtada f (x) egri chiziq urinmaning ustki tomonidan ustki tomoniga o‘tadi.
Shu kabi c nuqtada ishorasini «+» dan «-» ga o‘zgarsa, f egri chiziq urinmaning ustki tomonidan istki tomoniga o‘tadi. Demak, ikkala holda ham c nuqta funksiya bukilish nuqtasining abssissasi bo‘ladi. Bukilish nuqtalari funksiya grafigining qavariq va bitiq qismlarini bir-biridan ajratib turadi.



Misol. funksiya grafigi bukilishga egaligini tekshiramiz.
Yechish
Tenglamaning ildizlari: x=-2, x=2. Bu qiymatlarda f(-2)=f (2)=-34. Grafik (-2, -34) va (2,34) nuqtalarda bukilishi mumkin. x=-2 nuqtaning x>-2 yaqinida da f>0, ya’ni x=-2 da f ning ishorasi o‘zgarmiqda.
Demak, C₁(-2; 34) – bukilish nuqtasi. Shu kabi C₂(2, -34) ham bukilish nuqtasi ekani aniqlanadi.