Uzoq yillar davomida vujudga kelgan eski ta’lim tizimini tubdan qayta qurmasdan va isloh etmasdan turib bu maqsadga erishish mumkin emas

3.2-§. Nyuton binomi.
1. (lit. bi – ikki, yunincha nomos – qism, had). Isaak Nyuton (1643–1727) – buyuk ingliz ilimi. Nyuton binomi formulasi Nyuton ijodidan ancha oldin, xususan, samarqandlik olimlar G‘iyosiddin Jamshid al-Eishiy, Ali bin Iuhammad Qushchining asarlarida uchraydi.
(a +x) binom o‘z-o‘ziga n marta ko‘paytirilgach, natijada

ko‘phad hosil bo‘ladi. Oanglikning o‘ng qismini binom yoyilmasi deb ataymiz. Noma’lum T₀, T₁, ... ,T_n larni topamiz. Shu maqsadda (1) tenglikka x=0 ni qo‘yamiz, T₀=aⁿ hosil bo‘ladi. T₁ ni topish uchun (1) tenglikni differensiallaymiz:

(2) tenglikka x=0 qo‘yilsa, hosil bo‘ladi
T₂ ni topish uchun (2) tenglikni differensiallaymiz va hosil bo‘ladigan

tenglikka x=0 ni qo‘yamiz. Natijada:

Shu kabi takror differensiallashlar va natijalarga x=0 ni qo‘yishlardan so‘ng

umuman, k-qadamdan so‘ng

ni topamiz. a^nk ning oldida turgan kasrni orqali belgilaylik, u holda ifoda

ko‘rinishga keladi. kasr son (1) binom yoyilmasining (k +1)-hadi koeffitsiyenti, qisqacha, binomial koeffitsiyent deyiladi. (1) munosabatni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

bunda deb qabul qilinadi. (4) formula Nyuton binomi formulasi dan iborat. Agar ko‘paytma n! (n-faktorial) orqali almashtirilsa, ni topish formulasi yanada ixcham ko‘rinishga keladi:

Hisoblashlarda 0!=1 deb qabul qilinadi.
Binomial koeffitsiyentlarning ayrim xossalari:

1. 
   koeffitsiyentlarning yuqori indekslari 0 dan n gacha o‘zgarib boradi; yoyilmada jami n+1 ta had bor. Ixtiyoriy (k+1) hadi
   

ko‘rinishga ega;

2. 
   agar (4) formulaga a=1=x qo‘yilsa,
   

(7)
hosil bo‘ladi, ya’ni n-darajali binom yoyilmasidagi koeffitsiyentlar yig‘indisi 2n ga teng;

3. 
   agar (4) formulaga a=1, x=-1 qo‘yilsa:
   

ya’ni . Bunga qaraganda toq o‘rinda turgan binomial koeffitsiyentlar yig‘indisi juft o‘rinda turgan koeffitsiyentlar yig‘indisiga teng;
4) agar (5) formulada k o‘rniga n-k qo‘yilsa,
(8)
formula hosil bo‘ladi;

1-misol.
2 -misol. (a+x)⁶ binom darajasini yoyamiz.
Yechish. Bizda n=6, binomial koeffitsiyentlar soni yettita.
Ularni topamiz:

(4) formula bo‘yicha:

3-misol. (a-x)⁶ binom darajasi yoyilmasini topamiz.
Yechish. Masala 1-misolda x o‘rniga -x ni qo‘yish bilan hal qilinadi:

Shu misolni (a+x) binomni o‘z-o‘ziga olti marta ko‘paytirish, so‘ng ixchamlashtirishlarni bajarish orqali ham yechgan bo‘lardik.
Lekin bu ish nisbatan mushkul ekani tushunarli.
4-misol. (a^-2 + )⁵ binom darajasini yoyamiz.
Yechish. n=5. (4) munosabatda a o‘rniga a^-2 ni, x o‘rniga ni qo‘yish kerak. Binomial koeffitsiyentlar:

U holda:

2. Nyuton binomidan taqribiy hisoblashlarda foydalanish. Bu haqda qisman ushbu darslikning 1-qismi, V boboda ma’lumit berilgan edi. Endi hisoblashlarni bajarishda oldingi bandlarda berilgan yangi ma’lumitlardan ham foydalanamiz.
x² son yetarlicha kichik bo‘lganidan, u tashlangan va (1+x)²=1+2x+x² bo‘yicha
(1+x)²≈1+2x taqribiy formula tuzilgan bo‘lsin. Vujudga keladigan chetlanish (formula xatoligi) bo‘ladi. ε xatolik x ning kattaligiga bog‘liq. Hisoblashlarda bu e’tibirga olinishi kerak. Masalan, x ning qanday qiymatlarida xatolik 0,005 dan ortmasligini bilish talab qilinsin. tengsizlikni yechish kerak bo‘ladi. Undan ni topamiz. Demak, ning 0,07 dan kichik qiymatlarida formula baradigan xatilik 0,005 dan ortmaydi.
Shu kabi formula yordamida topiladigan taqribiy son xatoligi chegarasida bo‘lishi uchun ya’ni bo‘lishi, aksincha, binomda bo‘lsa, (1+x)²≈1+2x taqribiy formula bo‘yicha topilgan natijadagi xatolik 0,0005
dan ortmaydi. Shu tartibda amalda ko‘p ishlatiladigan (1+x)³≈1+3x va boshqa formulalarni tuzib olish mumkin (jadvalga qarang; ichki kataklarda qiymatlari keltirilgan).

1-misol. 1,038³ ni hisoblaymiz.

Yechish. (1+x)³≈1+3x formula bo‘yicha:
1,038³≈1+30,038=0,114
Bizda x=0,038 <0,04. Jadvaldan ε<0,005 bo‘lishini o‘qib olamiz. Demak, 1,038³≈1+30,038=0,114
2-misol. 1,0018⁸ ni ε=0,0001 gacha aniqlikda hisoblaymiz.
Yechish. Nyuton binomi formulasidan foydalanaylik:

Yoyilmada shunday hadni topishimiz kerakki, u va undan keyingi barcha hadlar birgalikda ε dan kichik bo‘lsin. Ikkinchi hadning ε dan katta ekani uning yozuvidan ko‘rinib turibdi.
Uchinchi had:

Keyingi hadlar yanada kichrayib biradi. Uchinchi va keyingi hadlarni tashlaymiz. Natijada: 1,0018⁸≈1+80,0018=1,0144.
Yuqorida keltirilgan misollarda natural ko‘rsatkichli binom formulalaridan foydalanildi. Lekin bu formula istalgan haqiqiy ko‘rsatkichli daraja uchun bajariladi. Faqat bo‘lishi shart. Yoyilmada cheksiz ko‘p qo‘shiluvchilardan iborat yig‘indi hosil bo‘lishi mumkin. Yoyilmada qancha had qildirilganda izlanayotgan natijada zarur aniqlikda bo‘lishini bilish uchun qo‘shimcha tekshirishlar bajarilishi zarur.
3-misol. ni ε=0,001 aniqlikda hisoblaymiz.
Yechish. , bunda
bo‘lmoqda. Nyuton binomi formulasi bo‘yicha:

Talab etilayotgan aniqlikni oldingi ikki had ta’minlay oladi.
Javiob: