В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

Построение основных дифференциальных уравнений геофильтрации и математические основы моделирования фильтрационных процессов

1. 
   Дифференциальные представления исходных физических закономерностей
   

В основу построения математической теории движе­ния подземных вод должны, очевидно, лечь фундамен­тальные физические закономерности (частично уже отра­женные в гл. 1), которые могут быть формально представ­лены в виде некоторых — определяющих — уравнений. Первой из таких закономерностей является уравне­ние движения —- связь между потерей энергии и работой сил сопротивления, которая, как мы видели, для широко­го круга условий выражается законом Дарси (в диффе­ренциальной форме). Если бы мы учитывали в своей тео­рии и перемещения твердой фазы, то должны были бы записать уравнение движения и для минерального скеле­та.
Далее следуют уравнения состояния, отражающие возможный характер изменений физических свойств изу­чаемой нами среды по ходу фильтрационного процесса. К уравнениям состояния могут быть отнесены закон Гука

34. 
    , отражающий зависимость плотности воды от гид­ростатического давления, и компрессионное уравнение
    
35. 
    , описывающее связь пористости с эффективным давлением. В частных случаях несжимаемых фаз эти уравнения состояния принимают вид р = const и п = const.
    

Наконец, есть еще одна важнейшая закономерность (мы пока еще ее не касались) — условие сохранения массы жидкости, которое может быть выражено в матема­тической форме уравнением неразрывности. Для выво­да этого уравнения выделим в напорном водоносном ком-

л
У ' У*
>
у
'Ф
77Т7777Г
плексе некоторый малый элемент — кубик с ребра­ми dx, dy, dz (рис. 2.6,а) и составим баланс жидко­сти для этого элемента за некоторый малый отре­зок времени dt. Через за­днюю грань кубика выте- кает масса жидкости дМ_х =p-v_xdy dz dt, где v_x — составляющая ско­рости фильтрации в на­правлении оси х. Интен­сивность изменения мас­совой скорости pv_x при перемещении частиц в направлении х выражает­ся частной производнй

д (p'V ) Рис. 2.6. Схемы к выводу уравнений
—-—~ и, следовательно, неразрывности для напорного пла-
д х ста:
на отрезке dx ОТ задней я * общий случай; б - плановая фильтрация
грани до передней — мае- _г
dx\ че-
d(p-v_x)
совая скоростьр • v_x получит приращение —^—
рез переднюю грань из в^убика уходит масса жидкости
д (p-v_x)
^ ^{х) J}- dy dz dt.
pv_x +
dx
дМУ =
дх
Итак; разница между массами жидкости, вошедшей в кубик через заднюю грань и вытекшей из него через переднюю, равна

d(P'V_x)
(2.1)
dM=dMJ -дМУ = -
—г dx dy dz dt.
дх

Проводя аналогичные операции для направлений у и х, получаем разницу между массами вошедшей в кубик жидкости и вытекшей из него:
d(p-v_z)
dM =
— H -—X- н dx dy dt. ,ni «4
d x dy dz ^J (2.2)
Очевидно, что разница масс dM либо накапливается в пределах кубика (если dM положительна), либо получа­ется за счет уменьшения упругих запасов жидкости в нем (если dM отрицательна). Упомянутые упругие запасы, очевидно, равны дМ ~р-п dx dydz, а скорость из изме­нения во времени определяется частной производной
Следовательно, изменение упругих запасов жид­кости в кубике за время dt равно:
dM dx dy dz dt . ^ 3)
Приравнивая выражения (2.2) и (2.3), получим после сокращения
^dJ>:^v2 ._{= 0}
dx dy dz dt ' (2.4)
Это и есть конечное уравнение неразрывности.
замечание. Обратим внимание, что данный здесь вы­вод уравнения неразрывности можно без изменений по­вторить для расчетного элемента планового потока, вы­сотой т и площадью dx dy в пределах напорного пласта (см. рис. 2.6,6). При этом будет получено уравнение
д(р т -у_х) д (p m v_v) .
дх ду St (2.5)
где оси х и у лежат в плоскости напластования; т — мощность пласта; расходы жидкости
через верхнюю и нижнюю грани расчет­ного элемента (а следовательно, и чле­ны уравнения неразрывности, отвечаю­щие координате z) здесь равны нулю.
ЗАДАЧА. Подумайте, почему полностью идентичный вывод уравнения неразрывности для безнапорного пласта окажется некор­ректным (для ответа на этот вопрос вспомните о процессах, сопро­вождающих изменение во времени положения депрессионной повер­хности) .
Перечисленные здесь исходные закономерности об­разуют системы определяющих уравнений, из которых можно получить результирующие (т.е. объединяющие всю информацию о процессе) дифференциальные урав­нения фильтрации, содержащие в качестве единственной неизвестно (искомой) функции напор Н; в общем случае функция Н зависит от трех пространственных координат и от времени: H=f(x, у, z, t). Коэффициентами и свобод­ными членами в этих уравнениях могут служить, в част­ности, гидрогеологические (фильтрационные) параметры (см. раздел 1.6) и показатели интенсивности питания или разгрузки потока.
Начинать представление дифференциальных уравне­ний фильтрации следует, естественно, с простейших гид­рогеологических условий; согласно проведенной в разде­ле 2.1 типизации расчетных моделей, таковыми являются условия движения в изолированном напорном пласте, в котором отсутствует дополнительное площадное питание и не проявляется гравитационная емкость.

2. 
   Расчетная модель жесткого режима фильтрации
   

Сделаем дополнительные упрощения, предположив, что порода и вода несжимаемы, т.е. уравнения состояния имеют вид р = А и п- В, где А и В не зависят от времени. Тогда в уравнении неразрывности пропадает временная производная. Если, кроме того, считать, что интенсив­ность пространственной изменчивости плотности жидко-
/ dp & ^vx \
сти очень мала ^<01Г.х’ "'г ^{т0 из вы}Р^ажения

4. 
   получаем
   

д v_y д v_v д v
— -I -У- = о
дх ду dz ' (2.6)
Подставляя сюда закон Дарси (1.58), имеем резуль­тирующее уравнение для жесткого режима фильтрации :
/- +Г- +# (к¥) =о• „7,
дх\^хдх) ду\Уду} dz\^zdz) (2.7)
Если пласт является однородным и изотропным (к_х = к_у = k_z — к - const), то уравнение (2.7) принимает вид
V²tf= 0, (2.8)
где V²# = —^-~2 + —-—2 + -г—2 —обозначение суммы вторых
д²Н д²Н д²Н
дх² ду² dz^:
производных, именуемое оператором Лапласа для функции И.
Уравнение в частных производных вида (2.8), назы­ваемое уравнением Лапласа, широко исследовано в раз­личных отраслях математической физики. Так как в даль­нейшем нам потребуется уравнение Лапласа в основном для двухмерных и одномерных движений, то приведем соответствующие выражения оператора Лапласа:
[1Г в двухмерном случае, когда процесс описывается двумя пространственными координатами (х, у):
дх² ду² (2.9)
в одномерном случае плоскопараллельного дви­жения вдоль оси х:
V²// = 0JL •
дх²' (2.10)
[У] в одномерном случае плоскорадиального движе­ния, зависящего от одной координаты г:
v²tf=I. э (_ГМ\