В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

а_х \ * вх) By у By) _Sx>2 ₍₂₆₆₎
Решая всю задачу в координатах х' и у', как для изо­тропного пласта, и определив функцию Н(х', у'), нетруд­но, исходя из соответствия (2.65), перейти к искомой функции Я (х, у). Поэтому мы далее не будем специально рассматривать планово-анизотропные пласты.
Важно, наконец, заметить, что все упомянутые рас­четные схемы относятся к пластам упорядоченного стро­ения, однородным в плане. Специфика подхода к планово неоднородным пластам потребует особого рассмотрения.
Контрольные вопросы
[Г] По каким основным признакам производится типизация водоносных систем и фильтрационных потоков?
|~2~| Каковы критерии типизации фильтрационных потоков по режиму фильтрации, характеру изменения проницаемости и струк­туре? Покажите на конкретных примерах, как смещаются критерии типизации одного и того же фильтрационного потока в зависимости от изменения масштаба и времени рассмотрения, а также в зависи­мости от изменения характера решаемой задачи. Сформулируйте основные критерии, по которым различаются напорные и безнапор­ные водоносные горизонты.
[ 3 I Какие основные физические закономерности связывают между собой результирующие дифференциальные уравнения филь­трации? В чем физический смысл следующих выражений (диффе­ренциальных операторов):
_Т(*,_У)Ш£М;
[~4~| Для каких минимальных объемов горных пород могут быть построены дифференциальные уравнения фильтрации?
I 5 I Изменяется ли расход фильтрационного потока от одного поперечного сечения к другому в случае жесткой фильтрации в изоли­рованном напорном водоносном пласте? Что вы можете сказать о воз­можности изменения скорости фильтрации от одного сечения к друго­му? Используя закон Дарси, покажите, что при стационарной плоско­радиальной фильтрации к скважине градиент фильтрационного потока обратно пропорционален расстоянию от скважины до расчетной точки.
|~б] Какие основные условия подобия должны соблюдаться на аналоговой модели, описывающей конкретную геофильтрационную ситуацию?
17 I Перечислите основные допущения, сделанные нами при построении дифференциальных уравнений фильтрации для напор­ного потока. Подумайте, к возникновению каких физически ано­мальных эффектов могут привести эти допущения? Ответьте на ана­логичные вопросы применительно к безнапорному потоку.
[~8~] К чему сводятся предпосылки перетекания? От каких фак­торов зависит степень их соответствия реальной фильтрационной картине?
Каков характер изменения напоров по вертикали в одно­родном разделяющем слое при перетекании? Как качественно разли­чаются эпюры изменения напоров вдоль мощности разделяющего слоя в случаях выполнения и невыполнения предпосылки о жестком характере фильтрации в нем? Отдает ли разделяющий слой воду при жестком и упругом режимах перетекания?
Как изменяется скорость перетекания вдоль мощности однород­ного слабопроницаемого слоя в случаях упругого и жесткого режимов движения в его пределах?
10 При задании граничных условий первого рода: а) зависит ли расход через границу от изменения напоров в пределах области фильтрации, б) зависит ли напор на границе от изменения напоров в пределах области фильтрации, в) зависит ли напор в пределах обла­сти фильтрации от изменения напоров на границе?
Каковы ваши ответы на вопросы «о» и «б» в случае граничных условий второго рода? Зависит ли в этом случае напор в пределах области фильтрации от изменения расхода на границе?
11 Может ли граница с условием первого рода быть одновре­менно и границей с условием второго рода? Если да, то привести примеры таких границ.
|12| При задании граничных условий третьего рода: а) зависит ли расход через границу от изменения напора в пределах области фильтрации, б) зависит ли напор на границе от изменений напора в пределах области фильтрации, в) зависит ли напор в пределах обла­сти фильтрации от изменений расхода через границу или напоров на ней?
Может ли граница третьего рода в частных случаях рассматри­ваться: а) как граница с условием первого рода, б) как граница с условием второго рода? Приведите примеры.
13
Какие типовые расчетные схемы плановой фильтрации вы знаете? Где — на каких участках пласта — следует ожидать, при прочих равных условиях, максимальных нарушений предпосылки о плановом характере потока?
14
В чем основные отличия расчетных моделей напорного и безнапорного слоистых пластов для условий плановой фильтрации?
[Тб] В условиях неограниченного планово-анизотропного водо­носного пласта (к_х> к_у) работает скважина, на одинаковых расстоя­ниях от нее в направлениях осей х и у находятся наблюдательные скважины 1 и 2. В какой из этих скважин будет отмечаться большее понижение уровней? Приведите характерные генетические типы анизотропных водоносных комплексов.
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ПЛАНОВОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ГЛАВА 3
В предыдущей главе нами подчеркнуто исключитель­ное практическое значение математической модели пла­новой геофильтрации. Поэтому теперь мы переходим к систематическому изучению задач в плановой постановке и методов их решения (см. также гл. 4). Изложение будет вестись по линии постепенного усложнения материала. В данной главе рассматриваются стационарные процессы, которые не учитывают изменений емкостных запасов во­ды в пласте и описываются более просстыми уравнениями не содержащими временной производной. Искомой вели­чиной является напор как функция координат Н(х, у). Основным фильтрационным параметром пласта (извест­ным коэффициентом уравнения) в этих задачах служит коэффициент фильтрации или проводимость. Для безна­порной фильтрации дополнительным параметром являет­ся удельная инфильтрация е, а для пластов с перетекани­ем — параметр перетекания В.
В гл. 4 будут рассмотрены нестационарные процессы, сопровождаемые изменениями емкостных запасов воды в пласте и описываемые более сложными в целом уравне­ниями, содержащими временную производную.
В рамках рассмотрения стационарных и нестационар­ных процессов постепенное усложнение излагаемых за­дач связано со структурой потоков: сначала изучаются более простые одномерные задачи, а затем — двухмер­ные.
Нужно подчеркнуть, что на начальных этапах исс­ледования плановой фильтрации мы будем часто ре­шать задачи в настолько идеализированной, упрощен­ной постановке, что их практическое значение может показаться, на первый взгляд, ничтожно малым. Пре­дупредим поэтому читателя заранее, что это — отнюдь не так: на самом деле, — и мы это докажем, — у пол­учаемых таким образом простейших решений имеется весьма широкое поле практических приложений — при условии целенаправленного применения надлежащих принципов схематизации. А так как эти принципы во многом опираются не только на физические идеи, но и на соответствующий им формально-математический аппа­рат, то именно постепенное усложнение и развитие по­следнего существенно предопределяют логику последую­щего изложения.
В целом гл. 3, как и гл. 4, должна научить нас тесно увязывать физические представления о процессе с ма­тематическим аппаратом решения задач динамики под­земных вод, а также с простейшими идеями схематиза­ции. При этом будем исходить из того, что при изложе­нии фундаментальных дисциплин (а для гидрогеологов «Динамика подземных вод» является именно такой дисциплиной) промежуточные выводы и рассуждения, пожалуй, не менее важны, чем результат; поэтому мы будем стремиться к тому, чтобы изложение подавляю­щей части задач не имело логических провалов.
Выбранные для анализа задачи имеют достаточно ши­рокое практическое звучание. Чтобы оттенить последнее обстоятельство, название задач будет даваться не только по формально-математическому признаку, но и исходя из их гидрогеологической направленности.

1. 
   Плоскопараллельная (одномерная) стационарная фильтрация
   

Приводимые здесь и в следующем разделе задачи мог­ли бы быть решены и без аппарата дифференциальных уравнений. Представляется, однако, полезным рассмот­реть их именно с привлечением этого аппарата, с тем чтобы усвоить логику постановки и решения краевых задач — дифференциальных уравнений при тех или иных краевых условиях.

1. 
   Задача о напорной фильтрации между двумя бассейнами (реками)
   

На рис. 3.1 ,а показаны два бассейна с параллельными берегами. Напор в правом бассейне (Н_х) выше, чем в левом (Я₂), так что между бассейнами имеет место ста­ционарный напорный поток, направленный противопо­ложно оси х. Если расстояние между бассейнами L суще­ственно меньше их протяженности в плане d, то линии тока оказываются практически параллельными друг другу, т.е. мы имеем дело с одномерным плоскопарал­лельным движением, зависящим лишь от одной коорди­наты х, т.е. Н — Н(х).
Соответствующее дифференциальное уравнение по­лучаем из выражения (2.8):