В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

(2.20)
У ду

а при T_X = T_V = T = const
О
дх² ду²
Здесь
(2.20а)
(2.21)
^тх=^кх^т’ Т_у=к_ут —
коэффициент водопроводимости пласта (или, короче, во- допроводимость пласта) в направлениях осей х и у (сов­падающих в общем случае с направлениями главных осей анизотропии).
В упругом режиме, аналогично (2.15), имеем:

*д Н dt
_а_
ду
(2.22)
д /_Т д Н\ дх I ^х дх}
+ ^17)="

-коэффициент упругой емкости пласта (см. раздел 1.4).
Для изотропного пласта с постоянной водопроводи- мостыо

I дН а
*dt
(2.22а)
у**
дх² ду²

где а* — коэффициент пьезопроводности (см. 2.17), который в данном случае может быть также выражен в виде
* т
fi* (2.23)

2. 
   Плановая напорная фильтрация при наличии перетекания
   

Рассмотрим схему на рис. 2.7, где изображены два напорных пласта с напорами Н и Н’ соответственно. Вы­водя уравнение неразрывности для элементарного стол­бика в пределах нижнего пласта, мы должны учесть по­ступление воды не только через боковые грани столбика (как в случае изолированного пласта), но и через его верхнюю грань: здесь проходит вода, перетекающая из верхнего пласта через разделяющий относительный водО- упор. При расчетах подобных водоносных систем прини­маются следующие предположения, известные как пред­посылки перетекания (предпосылки Мятиева-Гирин- ского):
[Т1 движение в водоносных пластах является плано- вымТлинии тока параллельны напластованию);
\2 в разделяющем слое линии тока перпендикуляр­ны напластованию; физически эта предпосылка вполне объяснима: вода стремится пройти участок с большим сопротивлением (водоупорный слой) по кратчайшему пути.
С.Н.Нумеров показал, что погрешность в величине напора, обусловленная первой предпосылкой, имеет по­рядок [23]:
«0,1Я1пЯ, (2.24)
а погрешность от второй предпосылки:
4>«0,1Г, (2.24а)
к _
(здесь X = Я = (m/m_p) Я).
Следовательно, точность предпосылок перетекания зависит в первую очередь от соотношения проницаемо­стей пород водоносного и разделяющего слоев; очевидно,
//////'/ ТгГЖТТУ~7~ТТТ7 ГГ! Г7ТГГ*

Рис. 2.7. Схема к выводу уравнения неразрывности в пласте с перетеканием
эти предпосылки можно использовать при отношении k/k_p в несколько десятков и более.
Принимая теперь вторую предпосылку перетекания, т.е. считая, что длина пути фильтрации по слаоопроница- емому слою равна т_р, получаем, что градиент фильтрации здесь равен:
/ ₌^я> ~^н
р (2.25)
замечание. Одновременно мы тем самым предполо­жили, что режим фильтрации в разделяющем слое явля­ется жестким, т.е. в этом слое мгновенно устанавливается распределение напоров в соответствии с напорами на его кровле Н’ и почве Н. Иначе говоря, мы пренебрегли упругими запасами воды в разделяющем слое.

Следовательно, через верхнюю грань столбика посту­пает дополнительное питание, равное
. Я' -Я
е„ = к_п •
^{п р} % (2.26)
— на единицу площади пласта в единицу времени
Показатель е_п входит в качестве дополнительного чле­на в уравнение неразрывности, так что вместо (2.5) полу­чаем
j^(p-m v_x) +j^(p-m v_y) -р% = 0 .
(2.27)
Соответственно преобразуются и дифференциальные уравнения фильтрации. Так, вместо результирующего уравнения (2.22а) получаем
а²я д²н w -я 1 вн
дх² ду² В² a* dt ’ (2.28)
где Б = уГТчПр/Jcp —так называемый параметр (фактор)
перетекания, имеющий размерность длины. Чем меньше величина В, тем интенсивнее, при прочих равных ус­ловиях, идет перетекание.
ЗАДАЧА. Для того, чтобы убедиться в значимости про­цессов перетекания даже при малой проницаемости раз­деляющего слоя (но при больших размерах системы), прикиньте расход перетекания из верхнего пласта (см. рис. 2.7) в нижележащий (эксплуатируемый) водоносный горизонт, если средняя величина разности напоров (Н'~ Н) в радиусе 25 км от водозабора составляет 5 м, к = 10'⁴ м/сут, т_р = 10 м. Считайте при этом, что требуемая производительность водозабора 100000 м³/сут.

3. 
   Плановая фильтрация в безнапорном пласте
   

Особенность этого случая заключается в том, что при снижении депрессионной кривой мощность пласта h из-
меняется, и в расчетный элемент пласта (рис. 2.8) посту­пают дополнительные объемы воды, обусловленные гра­витационной водоотдачей. Если скорость снижения де-
прессионной кривой равна ^то объем дополнительного
О Г

питания на единицу площади пласта в единицу времени равен:
(2.29)
где fx — коэффициент гравитационной водоотдачи.
Соответственно вместо дифференциального уравне­ния фильтрации (2.20) получаем
п —

Рис. 2.8. Схема к выводу уравнения плановой фильтрации в безна­порном пласте
Кроме того, в базнапорный пласт сверху поступает вода за счет инфильтрации, удельную величину которой (в единицу времени на единицу площади) обозначим че­резе. Тогда уравнению неразрывности вида (2.5) отвечает уравнение

d и дН\ , d // и & Н\ *дН dh
J_x b^hT_x) ⁺Fv [^ky^hTу) ^{+ £=}" T, ^+fllT,’
(2.31)
где — упругая водоотдача безнапорного пласта.
Так как Я = Zp + h /cos «, или при малых углах «,
характерных для условий безнапорной фильтрации,
д Я д h * *_/
а также ввиду того, что обычно fi » ц (см.
раздел 1.4), выражением р
можно пренебречь.
а_я 1
dt
Рассматривая далее случай горизонтального водоупо- ра, будем отсчитывать от него значения напоров; тогда Я = h, и уравнение (2.31) примет вид (уравнение Буссине- ска)
Э ■ /, , dh\ д л г. dh\ dh
dx (^kxh dx) dy { y dy) ^ dt ■ (2.32)
Искомой здесь является функция h(x, у, z, t), так что в левой части уравнения коэффициенты при производ­ных зависят от искомой функции, т.е. они заранее неиз­вестны (чего, кстати, не было в уравнениях напорной фильтрации, где мощность пласта задана и не зависит от снижения напоров). Уравнения такого типа называются нелинейными; они существенно сложнее для аналитиче­ского и модельного исследования и поэтому на практике уравнение Буссинеска часто заменяют приближенным линейным уравнением. Для этого делается допущение, что проводимость к h - Т с понижением напора меняется пренебрежимо мало и может быть заменена некоторой средней величиной Т_ср = (к h)_cp, не зависящей от h (лине­аризация по Буссинеску); такой подход вполне правоме­рен, в частности, для типичной схемы двухслойного пла­ста (см. раздел 2.5.2).
ЗАМЕЧАНИЕ. Линеаризацию по Буссинеску можно применить и к более общему случаю безнапорной филь­трации при наклонном водоупоре, тогда уравнение (2.31)
дает:
JL {_T Мл ₊J_ (т M\₊c_=mM
dx dx) ⁺dy {*<** dy) ^+e P dt' (2.33)
что при e = О — формально идентично уравнению на­порной фильтрации (2.22).
Вторая возможность заключается в представлении
и .dh ,
правой части уравнения в виде h -^7, где п_ср — неко-
^Пср "^г
торая усредненная в пространстве и во времени мощность потока; тогда, введя новую функцию и = h /2, мы придем к линейному уравнению относительно и (линеаризация по Багрову-Веригину):
d /, d и\ . а /. а и\ и а и
dx ( х dx) dy ( з- dy) Kpdt' (2.33a)
На практике обычно исполльзуется линеаризация по Буссинеску, которая, как мы покажем позднее, дает хо­рошие результаты для широкого круга задач (см. раздел 2.5).
Для однородных и изотропных в плане пластов лине­аризованное уравнение Буссинеска может быть переписа­но в виде:
V²h+^-=-~,
Т_ср a dt' (2.34)
где
^й=7г* (2.35)
L
д
При линеаризации по второму способу
у2 1 д_и
^и к а dt' (2.36)
где
k-h
^a==-fi^C£-' (2.37)
Итак, в результате линеаризации уравнение безна­порной фильтрации становится формально идентичным
уравнению (2.22а) для напорной фильтрации . В связи с этим параметр а, по аналогии с коэффициентом пьезоп­роводности а¹, получил название коэффициента уров- непроводности; он отражает скорость распространения возмущений в безнапорных пластах. Так как обычно fi »fi, то из сравнения формул (2.35) и (2.23) следует, что в безнапорных пластах возмущения распространяют­ся существенно медленнее, чем в напорных системах (при одинаковых проводимостях примерно в Vfi/ц раз).
Полная математическая эквивалентность конечных уравнений напорного и безнапорного (при горизонталь­ном водоупоре и при отсутствии инфильтрации) движе­ния позволяет нам в дальнейшем приводить выводы и
обсуждения, главным образом, на примере решений для напорного режима. Соответствующие решения для безна­порной фильтрации можно получить, как это следует из приведенных уравнений, путем формальной замены
Н -*h (2.38)
для линеаризации по Буссинеску и бой задачи динамики подземных вод наряду с уравнения­ми, описывающими изучаемый процесс, необходимо за­ранее знать значения искомой функции или ее производ­ных на границах и в начальный момент времени — крае­вые условия для исследуемого дифференциального урав­нения . Благодаря наличию заданных краевых условий соблюдается требование однозначности решения: из множества решений дифференциального уравнения вы­бирается единственное, отвечающее исследуемой крае­вой задаче. Так как в наших задачах искомой функцией является напор Я, то краевые условия записываются для функции Я или ее производных.
Краевые условия задаются для конкретной обла­сти фильтрации — участка земной коры, приуроченного к водоносному горизонту (комплексу) и оконтуренного некоторыми гидродинамическими границами, причем применительно к данной задаче этот участок рассматри­вается как единая, гидравлически связанная система. Кра­евые условия делятся на начальные и граничные.
Начальные условия отвечают исходным напорам в пределах области фильтрации, т.е. напорам на начальный момент времени протекания изучаемого процесса. На­чальные условия должны быть заданы (обычно по резуль­татам измерения напоров в наблюдательных скважинах и их интерполяции) во всех точках области фильтрации в виде известной функции координат:
Я (х, у, Z, 0 |_{r =0} SЯ (х, у, 2, 0) =/_м (х, у, 2). ₍2 39)
Понятно, что начальные условия необходимы лишь при исследовании нестационарных процессов.
Граничныеусловия задаются для всех граничных то­чек области фильтрации (х_г, у_г, z_e) на весь период, рас­сматриваемый при решении данной задачи (основу для этого дают геологоструктурные представления, данные об орогидрографии, результаты опытно-фильтрационных работ и режимных гидрогеологических наблюдений). Как уже отмечено, речь здесь идет о гидродинамических гра­ницах, т.е. о некото­рых, вообще говоря, условных поверхно­стях, где фиксируют­ся те или иные иско­мые характеристики фильтрационного по­тока: скорости, напо­ры или связи между ними. Для того, чтобы лучше уяснить это не­сколько формализо­ванное определение, обратимся к приме­рам.
ТТТТ77~ГТ7ТТТ
ТТТТГ7/ Г/ТТГ

S'
На рис. 2.9,а пока­зана угленосная муль­да, перекрытая водо­упорными покровны- -Рис. 2.9. Схемы закрытого водоносно-
хлы n-rnn,vswuaxMiA- иг» го пласта (а) и безнапорного пласта с ми отложениями, во- _{границей} обеспеченного питания (б)
доносныи пласт углей
и закрытая граница является линий тока. Отметим, что в этом примере гидродинамические границы области филь­трации совпадают с геологическими границами пласта.
На рис. 2.9,6 показан двухслойный безнапорный пласт вблизи реки. При работе инфильтрационного водозабора (речная вода просачивается через пески) его расходы
^/дН} д п
(2.40)
=0,
ограничен водоупорными аргиллитами. При расчете дре­нажных скважин, пройденных на угольный пласт, обла­стью фильтрации является весь этот пласт, гидродинами­ческими границами области фильтрации служат его не­проницаемые контакты с водоупорными породами, . Гра­ницы такого рода мы, кстати, будем называть закрыты­ми, на них фиксируется нулевое значение скорости филь­трации v_n по направлению, перпендикулярному к грани­це; следовательно, согласно закону Дарси
обычно пренебрежимо малы в сравнении с расходами реки. Поэтому можно полагать, что уровни воды в реке и, следовательно, напоры на контуре ее дна практически не зависят от рассчитываемого инженерного сооружения (водозабора) и могут задаваться заранее — исходя из наблюдаемого или расчетного гидрологического режима:
^Нг=/(^хг.Уг.²г, О- (2.41)
Границу такого вида мы будем называть границей обеспеченного питания (здесь — контур дна реки) . За­метим, что водоносный пласт распространяется и за эту границу, так что в данном примере область фильтрации не совпадает с (геологической) областью распространения водоносного пласта; так, для расчета водозабора, распо­ложенного справа от реки, нет необходимости рассматри­вать картину фильтрации слева от нее; влияние водозабо­ра распространится лишь до реки, а уровень подземных вод за рекой не будет зависеть от его работы.
Далее справа на рис. 2.9,6 никаких возможных границ не указано. Это означает, что водоносный пласт распро­страняется здесь «очень далеко», точнее, что за период работы водозабора его влияние не распространится до правой границы пласта. В этом смысле мы здесь имеет дело с полуограниченной (в плане) областью фильтра­ции (говоря формально-математическим языком, правая граница удалена в бесконечность).
Наконец, продолжая обсуждение этого примера, за­метим, что нижняя граница области фильтрации (водо­упорная почва пласта) является здесь закрытой, а верхней границей служит депрессионная поверхность, вдоль кото­рой имеет место свободная инфильтрация с интенсивно­стью е на единицу площади пласта. Следовательно, здесь задано условие

ЗАДАЧА. Показать (рассуждением от противного), что При от­сутствии инфильтрации депрессионная кривая стационарного пото­ка является линией тока.
Кроме того, на свободной поверхности избыточное гидростатическое давление равно нулю и напор равен геометрической высоте, т.е. здесь задано дополнительное условие
(2.43)
Н ~ z.
На рис. 2.10,а показана совершенная водопонижаю­щая скважина с радиусом г_с в неограниченном (в плане) напорном пласте. Однако в этом примере у области филь­трации имеется внутренняя граница — контур скважины радиуса г_с. Если скважина откачивает воду с постоянным расходом Q_c, то, согласно закону Дарси

^удН}
Зг
‘дФ
3 п
2 ж^щТ'Г_
О =ко)'1, — 2 К'Г'к'Ш
г ?. ?. г

где ш_{ и 1_г
(2.44)
соответственно площадь граничного сечения и градиент на границе;
п
нормаль к границе, совпадающая с направле­нием радиуса г.
3 п
2п-г-Т'
<3 Я^Х
Следовательно, на рассматриваемой внутренней гра­нице задана нормальная производная функции Н:
(2.45)
В этом примере границей области фильтрации являет­ся, таким образом, контур инженерного сооружения.
На рис. 2.10,6 показан контакт аллювиальных песков (1) в долине реки с известняками (2). Область фильтра­ции является полу ограниченной (внешней границей слева служит река), но имеет внутреннюю границу — контакт водоносных пород с различными фильтрационными свой­ствами (граница раздела). Из условия неразрывности потока через эту границу получаем равенство скоростей фильтрации v_nl и v_n2, нормальных ей, или, по закону Дарси

^/зн}
д П
^/вн} д п

а

_П-_ГГГГГ7-_ГГГ7^_Т^
г**
5

ушшр I ^ ri'-IU^y II
Рис. 2.10. Схемы совершенной скважины в неограниченном пласте (а) и области фильтрации, содержащей границу раздела — кон­такт водоносных пород с различными фильтрационными свойст­вами (б)