В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

S(r)=C₂-K₀(r/B),
dS ^d l*„(^r/d(r/B) _C₂ d [K^(r/B)]
dr~^c^~^r/B'T~' в ~~b Жт/в) '
Считая радиус скважины г достаточно малым, так что г /В
(f[K_Q{r/B)] _в
< 0,05+0,1, и полагая поэтому —Щ^/в)— |г = г ~ ~~ (см. по­следнее из упомянутых свойств функции Бесселя), получаем из вто­рого граничного условия
_с __ik_
² 2 Jt'T'
Окончательное решение поставленной задачи прини­мает вид
Ос
г_
(3.39)
В
\ /
Для функции К₀{х) имеются подробные таблицы. Для точек, расположенных не слишком далеко от скважи­ны (г/В < 0,05-Ю,1), согласно третьему из упомянутых свойств функций Бесселя
^, е_С| 1 ив
^(>~2яТ^т г ■ (3.40)
ВОПРОС. Чем принципиально по своей физичской постановке рассмотренная задача отличается от случая откачки из изолирован­ного, неограниченного в плане пласта?
ЗАДАЧА. Наблюдательные скважины на нижний пласт (см. рис. 3.9), удаленные на расстояние г_} - 10 м и г₂ * 30 м от центральной, фиксируют на последних этапах откачки постоянные уровни, отве­чающие понижениям Sj * 152 см и S₂ “ 105 см. Наблюдательные скважины в верхнем пласте свидетельствуют о практическом отсут­ствии понижений в нем. Расход откачки 10 м /ч.
Требуется:
1
найти проводимость нижнего пласта;
оценить фактор перетекания В;
найти коэффициент фильтрации пород разделяющего
слоя, полагая т_р ** 1 м.
Из этого примера можно еще раз убедиться, что пере­текание реально проявляется и при низких проницаемо­стях разделяющих слоев. Чем больше площадь области
влияния водопонижения, тем важнее, при прочих равных условиях, роль этого процесса.

3. 
   Решение задач двухмерной установившейся
   

фильтрации на основе принципа сложения течений
Рассмотрев простейшие одномерные задачи, мы по­путно уяснили многие важные физические аспекты пла­новой стационарной фильтрации в целом. Однако в том, что касается математических методов исследования, арсе­нал наш был пока весьма скромным, так как одномерная постановка задач позволяла достичь их решения довольно элементарными средствами. Теперь мы перейдем к более сложным для аналитического исследования двухмерным задачам плановой фильтрации, которые потребуют для своего решения развития специально ориентированных, достаточно общих и гибких методов. Среди аналитиче­ских методов мы упомянем здесь в первую очередь метод (принцип) сложения течений, особенно эффективный в свете необходимости расчета систем скважин.
Рассмотрим общее двумерное уравнение плановой стационарной фильтрации в виде
д /гр дН\ д /гр дН\
дх ( дх) ду ( ду) ¹ (3.41)
Конкретный выбор этого уравнения из всех рассмот­ренных в разделе 2.3 не принципиален: важно лишь, что­бы это уравнение было линейным (параметры Т и е не зависят от Н).
Пусть #j (х, у) и #₂(х, у) — две функции, удовлетво­ряющие этому уравнению. Тогда легко показать, что функция Н₃(х, у) = Я₁ (х, у) + #₂Ос, у) также удовлетво­ряет этому уравнению (сделайте самостоятельно). Это положение известно в математической физике как прин­цип суперпозиции.
ПРИМЕР. Пусть в некотором водоносном горизонте задано ес­тественной распределение напоров # (х, у). Оно подчиняется урав­нению (3.41):

^(4^)⁺f,(^r'5)^+£=°-
Вычитая из первого уравнения второе, получаем:


Под влиянием водозабора, эксплуатирующего этот горизонт, устанавливается новое распределение напоров HJx, у), которое по- прежнему удовлетворяет общему уравнению (3.41):
где
S(x,y)=H_e — H_H (3.43)
— понижение напора (3.43)
В этом примере использование принципа суперпозиции позво­лило исключить из уравнения инфильтдацию и тем самым упростить математическую формулировку задачи . Физически это вполне объ­яснимо: инфильтрационное питание находит свое независимое отра­жение как в исходном, так и в нарушенном распределении напоров, и поэтому разность напоров оказывается не зависящей от инфильт­рации. Здесь очень важным было предположение, что инфильтрация при работе водозабора остается той же, что и в естественных услови­ях (линейность процесса и, соответственно, дифференциального уравнения).
Развивая идею независимого действия факторов, вли­яющих на фильтрационный процесс, сформулируем ее для системы водопонижающих скважин: возмущение на­пора в пласте, обусловленное одновременной работой группы скважин, равно сумме возмущений, вызванных каждой скважиной. Отсюда естественно, что примени­тельно к нашим задачам принцип суперпозиции'может быть назван принципом сложения течений. Будем далее развивать его на примере систем скважин.
В неограниченном пласте с исходной горизонтальной пьезометрической поверхностью распределение напоров вблизи одиночной скважины — осесимметричное, т.е.
описывается логарифмической зависимостью (3.31). Так как выражение (3.31) удовлетворяет и общему уравне­нию (3.41), то, согласно принципу суперпозии, ему удов­летворяет также сумма:
^Я(*’ ⁼ 2'jfT. &<*^{ln r}‘ ^{+ C}« ’ (3.44)
где n — число скважин;
ri — расстояние от i-ой скважины до точки,
в которой ищется напор Я;
п
С_п = X С- — константа, зависящая от условий на сква- / = 1
жинах.
Выражение (3.44) является общим решением задачи о работе группы скважин в неограниченном изолирован­ном напорном пласте.
ЗАМЕЧАНИЕ. Обратим внимание, что сама по себе формула (3.44) является, в определенном смысле, математической абстрак­цией; она относится к стационарному режиму движения, а таковой в неограниченном изолированном пласте наступить не может (если все скважины отбирают воду, т.е. Q_d > 0). Это, однако, не помешает нам вывести на ее основе другие зависимости, имеющие конкретное фи­зическое содержание.
+ С '
(3.45)
Аналогично, из формулы (3.39) для одиночной скважины следу­ет общее решение для группы скважин в напорном пласте с перете­канием:
j =1 V^й/
Например, для двух скважин с одинаковыми расходами и ради­усами
Постоянную С2 райдем из условия: Н ~ Н_£ на стенке фильтра
первой скважины (г₍ * г,, г₂ * / — r_£~ 1, ще 1 — расстояние между скважинами):

Н(х, у)—Я

В отличие от формулы (3.44), зависимость (3.45) отвечает реаль­ной физической картине и при Q_ci > 0, так как в данной задаче возможно наступление стационарного режима за счет перетекания.
Итак
ЗАМЕЧАНИЕ. Сделанное выше предположение о горизонталь­ности исходной поверхности напоров не является принципиальным: его можно устранить, записывая соответствующие формулы в пони­жениях, отсчитанных от исходных уровней.
Формула (3.44) является исходной для решения ши­рокого круга задач.
пример. Задача о скважине вблизи реки.
На рис. 3.10,а изображена скважина, работающая с расходом Q_c в полуограниченном напорном пласте. Гра­ницей слева служит контур реки, на котором задано усло­вие первого рода: Я = Н₀ = const.
Для решения этой задачи, оказывается, также можно применить формулу (3.44). С этой целью рассмотрим сначала вспомогательную задачу (см. рис. 3.10,6): две скважины в неограниченном напорном пласте с первона­чальным напором Н₀ расположены на расстоянии 21 друг от друга. Из правой скважины откачивают воду с расхо­дом Q_c, в левую нагнетается тот же расход (или, формаль­но, ее расход Q = —Q_c). Так как пласт неограничен, то воспользуемся формулой (3.44):
Я(*, у)=Н_с- _t^Q-^c_:t (In г - In f) + С₂

a.


Рис. 3.10. Схемы к задаче о скважине вблизи реки: а - исходная схема; б - вспомогательная схема; 1 - расчетная точка
Постоянную С₂ найдем из условия Н - Н_с на стенке правой скважины:
Q г
с* — и In ^с
2 Ж'Т 21 —г_с'
Полагая г_с« 21, приходим к ршению вспомогательной задачи:
Q 21г
Н(х, у)=Н+ In —~т •
> ^с 2Л'Т г_С'Г (3.47)
В частности, на прямой АА’, проходящей посередине
Q 21
между скважинами (г = г'), #(0, у) = Н_с + -тг—тр In — =
Z JT" i
= const = Н₀ (последнее ясно из соображений симмет­рии).
Или, иначе:
а-
2лТ(Н₀-Н_с)
Ъ (21/г_с) ~ ’ (3.48)
Формулы (3.47) и (3.48) дают решение для вспомога­тельной схемы (см. рис. 3.10,6). А так как в этой схеме

напор по прямой АА' остается постоянным, равным Н₀, то решение вспомогательной задачи для точек, лежащих справа от АА' является и решением исходной задачи (см. рис. 3.10,а). Формально это следует из того, что в задачах решается одно и то же дифференциальное уравнение, для одной и той же области (если во вспомогательной задаче ограничиться рассмотрением области х 2:0), при одина­ковых граничных условиях. Тем самым соблюдены все необходимые условия однозначности решения.
Формула (3.48) известна как формула Форхгеймера. При выводе ее мы использовали фиктивный источник с расходом — Q_c, зеркально отраженный относительно гра­ницы пласта: источник этот оказывал в условиях неогра­ниченного пласта то же воздействие на все точки справа от оси АА', что и река в условиях полу ограниченного пласта (сказанное наглядно иллюстрируется линиями то­ка на рисунке). Этот расчетный прием (методотраже­ния) может рассматриваться как частный вариант метода сложения течений.
ВОПРОС. Как применить метод отражения в задаче о скважине вблизи непроницаемой прямолинейной границы? Чем эта задача принципиально отличается от предыдущей?
Аналогично — при граничных условиях первого рода — выво­дятся формулы для пласта с двумя параллельными границами (пласт-полоса) или для кругового пласта с эксцентрично располо­женной скважиной. Например, в последнем случае (рис. 3.11)