В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

Ъ Vi
П. ₌ _
Ъ
t?-r?₂+ln_T
(3.25)

Для определения rf (x) и построения депрессионной кривой по
^hi
этому уравнению необходимо сначала, положив х = Lnrf =г). = -г-,
^h2
определить из него h_Q. Расход потока определяется формулой (3.24).
Анализируя уравнение (3.25), связанное с именем Н.Н.Павлов- ского, нетрудно показать, что его решения существуют и при TJ < 1, и при 7] > 1, т.е. для рассмотренного случая прямого уклона водоупо- ра (уклон совпадает с направлениями движения) возможны два типа депрессионной кривой (рис. 3.7):
jT] кривая спада (см. рис. 3.7,а), коща мощность потока убы­вает по направлению движения (rf< 1);
|~2 | кривая подпора (см. рис. 3.7,6), коща мощность растет по направлению движения 0] > 1).
При обратном уклоне водоупора (i < 0) возможна только кривая спада (см. рис. 3.7,в).

ср

ЗАМЕЧАНИЕ. Для приближен­ных оценок расхода можно получить решение рассмотренной задачи как для напорного пласта с усредненной мощностью т = (h_{ +h^)l 2 и усред­ненным градиентом I _п - (Я, — Н₂)1Ь:
д=к‘т_ср-1_ср
2L
В

(3.26)
Рис. 3.7. Схемы безнапорной филь­трации при наклонном водоупоре

2. 
   Плоскорадиальная (одномерная) стационарная фильтрация
   

Плоскорадиальная фильтрация наиболее характерна для участков вблизи водопонижающих скважин.

1. 
   Задача о фильтрации к скважине в круговом пласте
   

^7^/777/7X7777,

На рис. 3.8 по­казана скважина, откачивающая воду с постоян­ным расходом Q_c и расположенная в центре круглого острова, по всей площади которо­го распространен
Рис. 3.8. Схема напорной фильтрации к изолированный скважине в круговом пласте однородный на­
порный пласт.
ВОПРОС. Чем вызвана столь идеализированная постановка за­дачи? Почему, например, не сместить скважину относительно цент­ра острова?
Вода из бассейна поступает в скважину по радиальным траекториям, т.е. движение носит одномерный характер (зависит от одной координаты г).
Уравнение (2.20а), с учетом выражения (2.11) для оператора Лапласа в плоскорадиальном случае приводит к исходному дифференциальному уравнению:
dH
а / ап\ _л
7r(^rW>=⁰’
(3.27) где Н * Н(г).
Граничные условия с учетом формулы (2.45) имеют
вид
гг (п \ — IS dH I
V д) о; dr Iг-г_с 2 71'Т'Г_С ’ (3.28)
где г_с — радиус скважины.
Решение:
[Т] интегрируем уравнение (3.27) по г:
dH _п ^r4F^=C''
разделяем переменные и еще раз интегрируем:
<Я/=С, —,
1 _г
с Q-.
¹ 2 л-7”
dH — Cj In г + С₂ — общее решение уравнения; используем граничные условия:
н₀ = б-l 1» R, + с₂;

Q_c
С,
In Я,
2п-Т-г'
^С2 ^Яо 2яТ
а

подставляем Cj и С₂ в общее решение:
Qr г Н (г) = In ~ + Я₀ —
^w 2л-Т R_d ⁰ (3.29)
искомое решение задачи (пьезометрическая кривая явля­ется логарифмической линией). В частности, напор на контуре скважины
Q ^г
H,.=Tr^~ln-i£- +н_а,
' 2 л-Т Я_д (3,30)
т.е. формулу для Н(г) можно записать также в виде
Я(г) = Yjff^1пг ~ ^{1п г}о^+Нс~ 2л Т^{1п г + С} ’
(3.31)
где С зависит от условий на скважине. Последнее выраже­ние дает наиболее общую структуру решения задач пло­скорадиальной фильтрации вблизи скважин, работающих с постоянным расходом; оно удовлетворяет и уравнению

27. 
    , и второму граничному условию в (3.28).
    

Если, наоборот, скважина работает в режиме заданно­го напора Н_с, то из формулы (3.30) получаем
_л _2яТ(Я₀-Я_с)_27tT S_c
^Qc In (Л/^Гс) In (^RAc) ’ (3.32)
где S_C⁼=H₀ — H_c — понижение напора в скважине.
ЗАДАЧА. Найти аналитическое выражение для оценки зависи­мости скорости фильтрации от расстояния до скважины.
Подстановкой (2.38а) получаем аналог последней формулы для безнапорного режима движения:
In (R_s /г_с) (3.33)
выражение, известное как формула Дюпюи для скважи­ны. Для этой формулы можно повторить все, что говори­лось о формуле Дюпюи и о промежутке высачивания в плоскопалаллельном случае (см. раздел 3.1.3).
ЗАМЕЧАНИЕ. Для реальных скважин дополнительный разрыв уровней на стенке скважины может быть обуслов­лен сопротивлением фильтра. Этот фактор мы пока не рассматриваем.
ВОПРОС. Почему приведенные здесь формулы нельзя исполь­зовать для расчета работы скважины в неограниченном пласте, когда вокруг скважины образуется круговая зона влияния радиуса №

2. 
   Задача о скважине в пласте с перетеканием
   

Пусть откачка ведется с постоянным расходом Q_c из нижнего пласта (рис. 3.9). В результате возникновения разницы напоров между горизонтами (первоначальные напоры предполагаются одинаковыми) из верхнего пла­ста происходит перетекание в нижний через разделяющий слабопроницаемый слой. Будем считать, что водообиль- ность верхнего пласта очень велика в сравнении с расхо­дом скважины, так что напоры в нем остаются в процессе откачки практически неизменными. Тогда по ходу откач­ки наступает момент, когда возрастающий расход перете­кания сравнивается с расходом скважины, после чего из­менения напоров прекращаются и наступает стационар­ный режим, который мы здесь и рассмотрим.

Рис. 3.9. Схема напорной фильтрации к скважине в условиях пере­текания
Считая справедливыми предпосылки перетекания (см. раздел 2.3), исходим из уравнения (2.28), которое принимает вид
В²А² Я + (Я°-Я) = О (3.34)
или, с учетом выражения для оператора Лапласа в плоско­радиальном случае (2.11),
(3.35)
Введем понижение напора в нижнем пласта S' — Н° — Н; тогда исходное уравнение имеет вид
dS 1 dS S'
dr² r dr в² ’ (3.36)
т.е. здесь мы имеем дело с обыкновенным дифференци­альным уравнением, известным как уравнение Бесселя.
Его общее решение записывается в следующем виде [16 ]:
S(r)=C_l4₀(r/B)+C₂-K₀(r/B), (3.37)
где I_Q и К₀ — функции Бесселя от мнимого аргумента нулевого порядка (/₀ — первого рода, К₀ — второго рода).
Напомним некоторые свойства этих функций:
1 1₀ (х) -* 00 при Х-*00;
2_ К₀(х)~* оо при х оо;
Л I 12
— К₀(х) ->1п—при х~* оо .примерно для
х< 0,05*0,1
Гг) 1
•—¹ К'(х)-*— — при х -* оо _э примерно для
Л
х< 0,05*0,1.
Для решения нашей краевой задачи используем гра­ничные условия:
*1 -о: "■ ' ^а
|г->оо > dr |г-г_с 2Ж'Т’г_с (3.38)
ЗАДАЧА. Дайте физическое обоснование первому из приведен­ных граничных условий.
Так как при г -* оо IJr/B) -*оо то для выполнения первого граничного условия необходимо потребовать С_{ * 0. Следовательно,