В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

Для профильно анизотропных пластов условия (2.50) принимают вид
Ixl > т VX/^7’ или Ixl >hVTT_x7к^ , (2.51)
где к_хик_г — коэффициенты фильтрации вдоль и вкрест напластования.
ЗАДАЧА. Для того чтобы уяснить смысл множителя Vk_y/k_z в фор­мулах (2.51), преобразуйте уравнение фильтрации в анизотроп­ной среде (уравнение (2.7)) к уравнению движения в изотропном
> _ X , у пласте; для этого введите новые переменные: х = ——; у =
, _ Z
²
Как мы знаем, в гидрогеологии чаще всего приходится сталкиваться со структурами, площадное распростране­ние которых во много раз превышает их мощность. Это позволяет считать расчетную модель плановой фильтра­ции практически удовлетворительной в подавляющем большинстве случаев. Польза этой модели для нас несом­ненна: благодаря ей мы вместо реальной трехмерной кар­тины фильтрации рассматриваем более простую двухмер­ную картину (или вместо профильной двухмерной — одномерную); соответственно, в дифференциальных уравнениях устраняется одна из независимых простран­ственных переменных, что, как правило, заметно облег­чает аналитическое или модельное исследование.
Вместе с тем, можно ожидать, что для точек вблизи границ водоносного пласта (особенно несовершенных по степени вскрытия) применение модели плановой фильтра­ции потребует каких-то корректирующих процедур.

2. 
   Основные расчетные схемы плановой фильтрации
   

Для систематического изложения задач плановой фильтрации и методов их решения целесообразно рас­смотреть сначала возможные расчетные схемы, отвечаю-

щие наиболее характерным типам реальных водоносных пластов; начало такой типизации было положено Г.Н.Ка- менским [15].
схема /. Изолированный однородный напорный пласт (рис. 2.16,а) — простейшая из упомянутых схем, описываемая дифференциальным уравнением (2.22а).
5
шшшш

77-77777-7" / _т г,'" Г ТГ i



7~7~Т/У / / / / У -7S
t

0 0 # « 0 0 «

TT'TS--?' у -7-? -у■ V-■/~7~7Т7^Г
I

е

Рис. 2.16. Основные расчетные схемы плановой фильтрации
схема 2. Напорный слоистый пласт (рис. 2.16,6) — пласт, состоящий из нескольких (п) водоносных слоев, в каждом из которых фильтрация носит плановый харак­тер. Так как напоры, а следовательно, и градиенты плано­вого потока во всех точках такого пласта, лежащих на одной вертикали, одинаковы, то, согласно закону Дарси, суммарный расход потока на единицу его ширины (удель­ный расход) равен:

Поэтому данная схема легко сводится к схеме одно­родного напорного пласта, путем введения суммарной проводимости и упругой водоотдачи:

СХЕМА ^.Безнапорный двухслойный пласт (см. рис. 2.16,в), состоящий из нижнего относительно хорошо про­ницаемого слоя и верхнего слабопроницаемого, в котором располагается депрессионная поверхность. Эта схема от­вечает наиболее частому варианту геологического строе­ния грунтового водоносного горизонта. На рис. 2.16,в показано два положения депрессионной поверхности — исходное I и конечное И. В положении I
(2.54)
в положении II

(2.54а)
Но к_н > > к_в> поэтому при не слишком больших значе­ниях Ат_в—т¹_в- (в сравнении с га_н) изменения вто­рого слагаемого в формулах (2.54) и (2.54а) мало меняют общую сумму, т.е. к_н-т_н » k₆'WL₆> к_в-т
(2.55)
Т'~Т"=Т_я=к_нт_н
и, следовательно, проводимость в этой схеме можно счи­тать неизменной, как и в случае напорного пласта мощно­стью т . Наоборот, расчетная водоотдача равна гравита­ционной водоотдаче верхнего слоя, которая обычно за­метно выше упругой водоотдачи нижнего слоя.
Таким образом, все три рассмотренные схемы могут быть объединены при аналитическом исследовании как схемы пластов с неизменной проводимостью, - чем они отличаются от двух последующих, имеющих нелинейный

характер (проводимость зависит от искомой функции на­пора) .
СХЕМА * Однородный безнапорный пласт на горизон­тальном водоупоре (см. рис. 2.16,г); схема описывается уравнением Буссинеска (2.32), которое сводится к типу уравнения напорной фильтрации в однородном пласте (2.32а) посредством введения функции и- h / 2 (линеа­ризация по Багрову-Веригину). Результирующие форму­лы для этой схемы получаются из решений для схемы изолированного напорного пласта формальной подста­новкой (2.38а).
СХЕМА 5. Слоистый безнапорный пласт залегает на горизон­тальном водоупоре. Пласт состоит из нескольких водоносных слоев, причем депрессионная поверхность может пересекать их границы (см. рис. 2.16,д). Частным вариантом является схема напорно-безна­порной фильтрации (см. рис. 2.16,е).
Так как фильтрация во всех слоях является плановой, то анало­гично (2.52)
Q=^j k_i'm_t'I~lSk(z)dz = ^jk(z)dz,
i = 1 о ^ах0 (2.56)
где суммирование ведется в пределах обводненной мощности пласта А, а затем сумма заменена соответствующим интегралом. Последнее выражение можно преобразовать:
Л<Р_г
⁴ dx ’ (2.57)
где

_l=S(h-z)k{z)dz.
о (z.5o)
Справедливость перехода от (2.56) к (2.57) доказывается непос­редственным дифференцированием по х интеграла (р_г, в котором
переменной интегрирования является z, ah (х) играет роль парамет­ра:

dm
~-f(h-z)k(z)dz
г _
dx
dh о
Ж⁼ж1(^Л-^г)*(^г)‘^гг=

Здесь мы воспользовались двумя известными формулами мате­матического анализа [16]:
[Т] формулой дифференцирования сложной функции
FWll (2.60)
и
|~2~[ формулой дифференцирования по параметру Л интеграла, в котором от этого параметра зависят и верхний предел, и подынтег­ральная функция:
4-)/fe h)dz=f(h, А) +}&iz.
dh о'^{v v 4} ' ₀ (2.61)
ЗАДАЧА. Пользуясь формулами (2.57) и (2.58), вывести зависи­мость для оценки расхода напорно-безнапорного пласта (см. рис. 2.16,е). Обратите внимание, что коэффициент фильтрации верхнего слоя здесь равен нулю.
Величина (р_г, отражающая совокупно проницаемость и мощ­ность (напор) водоносного пласта, получила название потенциала Гиринского. Из сопоставления формулы (2.57) с законом Дарси, который для планово-однородного пласта можно записать в виде
(2.62)
получаем, что выражения для пространственных производных во всех уравнениях для схем 1 и 5 идентичны при формальной замене
ТН^<р_г. (2.63)
Следовательно, для случаев стационарной фильтрации нет нуж­ды специально исследовать схему слоистого безнапорного пласта: решения для нее получаются посредством замены (2.63) в соответст­вующих решениях для схемы изолированного напорного пласта.
В нестационарном случае дело обстоит сложнее, так как из-за приуроченности депрессионной кривой к разным слоям расчетная гравитациоынная водоотдача в пределах области фильтрации оказы­вается переменной, зависящей от искомой величины А. В этом вари­анте, при сильно различающихся значениях водоотдачи пород от­дельных слоев, для эквивалентности схем 1 и 5 необходимо вводить дополнительные преобразования, которые в нашем курсе не рассмат­риваются.
Итак, все выделенные здесь основные расчетные схе­мы легко сводятся к схеме 1 изолированного напорного пласта (для схемы 5 — с отмеченным ограничением), которая и будет далее преимущественно рассматриваться при изложении задач плановой фильтрации и методов их решения. Кроме того, отдельно будут исследованы две частные схемы, описываемые уравнениями специальных типов: а) схема напорного пласта с перетеканием (см. рис. 2.7), определяемая уравнением (2.28), и б) схема безна­порного пласта на наклонном водоупорё (см. рис. 2.8),
описываемая общим уравнением (2.31) при/г*Д~-»0.
Мы предполагали пока плановую изотропность пла­ста, так как необходимость учета анизотропии не вносят каких-либо существенных осложнений. В самом деле, в случае однородного, но анизотропного пласта выражение

дН
дх
_JL (т ^JL\ +— (х ——\ = урт '—-
дх V* дх) By ( у ду) ^х дх
^{У Л}У ду ^^Viy ду I (2.64)
в уравнениях (2.20) и (2.22) легко привести к схеме изо­тропного пласта путем введения новых (декартовых) ко­ординат:
^Х'⁼ТТ~' ^у,=7Т"- (2.65)
х У
Подставляя (2.65) и (2.64), получаем