В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

d²H
= 0
dx* (3.1)
Область фильтрации заключена в интервале (0, L), на ее границах заданы условия
Я(0)=Я_2; H(L) = Я₁ . (3.2)
Уравнение (3.1) и граничные условия (3.2) дают ма­тематическую постановку задачи. Требуется найти функ­цию Н(х).
Порядок решения:

dx
1
произ­
так как
dx
_Л dH ~ ~
’ ^T0~dx ^{= р} гДе ^Ci

вольная постоянная, '
|~2~| интегрируем уравнение с разделяющимися пере­менными dH = Cj dxvL получаем / dH = С, J dx\ H{x) = = C,x 4- C₂ общее решение исходного дифференциально­го уравнения;
используем граничные условия (3.2) для опреде­
ления Cj и С₂:
я₂ — Cj "0 + С₂
Н_{ = Cj L + С₂ ’
откуда

Рис. 3.1. Схемы напорной (а) и безнапорной (б) фильтрации между двумя бассейнами
я, -я₂
Щх) х+Н₂, _{(3 3)}
т.е. пьезометрическая кривая является в данной задаче пря­мой линией с уклоном (градиентом) /= (Н₁ - Н₂) / L\
5 найдем удельный расход потока согласно закону Дарси и (3.3):
-Л 4K-U ^я. ^н2 _тн₁-н_г ^{9 к} dx L ~ L ’ (3.4)
т.е. расход потока во всех поперечных сечениях одинаков (не зависит от х).
Формулы (3.3) и (3.4) полностью решают задачу. Ими описывается также движение в слоистом напорном пласте при Т = 2 Tf, эти решения применимы и к расчет­ной схеме безнапорного двухслойного пласта (при отсут­ствии инфильтрации), когда вместо проводимости Т под­ставляется Т — проводимость нижнего пласта (см. раздел 2.5.2).
ВОПРОС. Можно ли было заранее, исходя из физических пред­посылок догадаться, что: 1) расход потока является постоянным; 2) пьезометрическая кривая окажется прямой линией?
ЗАДАЧА. Вкрест долины реки расположен створ из трех наблю­дательных скважин. Пользуясь формулой (3.4), выведите формулу для определения соотношения ₂/Т_{2 3}, ще Т_{{ 2} и Г- , — средние проводимости пласта на участках межд’у скважиками I’-z и 2-3.

2. 
   Задача о безнапорной фильтрации между двумя бассейнами (реками)
   

Считается, что водоупор горизонтален (см. рис. 3.1,6); имеет место инфильтрация с постоянной интенсив­ностью е.
Согласно (2.32), получаем исходное уравнение филь­трации в виде
d /, dh\ . е
dx (* dx) ⁺k~°- (3.5)
s.

Граничные условия имеют вид
Л(0)=Л_2; h(L)=h_l.
Решение:
[Т] перепишем уравнение в виде интегрируем
1 d h е
dx~ к^{х 1} ’
вновь разделяем переменные
£
h dh
-j^xdx + C_xdx\
интегрируем

1. 
   , p
   
2. 
   h fc'2 ⁺ C_{ x +C₂ — общее решение; используем граничные условия и получаем
   

hi ^C2~Y^;
С ^Eb 4
” к 2 ⁺ 2L ’
Гб] находим искомое частное решение
h\x) — — ~х\
х + hi,
\~h₂ e-L L ⁺ k~
² ’ (3.7)
\ /
т.е. депрессионная кривая является параболой;
[~7~| находим удельный расход потока
2
/ 0 0 \ 2 £ eL
~~Т^Х L ~к

\
т.е. расход меняется вдоль потока, причем максимальное его значение отмчается при х = 0 (на урезе левого бассей­на).
ВОПРОСЫ. Можно ли было заранее ожидать, что в этой задаче депрессионная поверхность не будет плоскостью? Почему расход вдоль потока изменяется? Дать физическое объяснение.
ЗЛДЛЧАВывести аналогичные формулы для безнапорного двухслойного пласта (см. рис. 2.16,в):





X + Л2 -
При отсутстви инфильтрации формулы (3.7) и (3.8) дают
(3.9)
(3.10)
Формула (3.10) известна как формула Дюпюи. Со­гласно ей расход вдоль потока не меняется.
ВОПРОС. Изменяется ли скорость вдоль потока?
Заметим, что формулы (3.9) и (3.10) можно было бы получить и без вывода — на основании формул (3.3) и

4. 
   для напорного пласта, путем подстановки (2.38а).
   

ЗАДАЧА. По данным замеров уровней в наблюдательной сква­жине, расположенной посередине между двумя бассейнами, извест-
на величина напора h(L/ 2). Найти формулу для определения сред-
^£ тт
него по площади значения параметра ■£. Что можно сказать о надеж­ности такого метода определения этого параметра, имея в виду ре­альную плановую изменчивость величины Е и параметра к?
Сопоставлением найденных выражений (3.8) и (3.10) можно получить представление о роли инфильтрационного питания в общей величине расхода потока. Для этого с помощью формулы (3.7) пред­варительно следует найти параметр ^ по данным режимных наблю­дений (на период отсутствия заметных колебаний уровней в бассей­нах и в наблюдательных скважинах, т.е. для режима, близкого к стационарному). Показателем надежности такой оценки может слу­жить близость значений параметра ^ для различных наблюдатель­ных скважин, расположенных в пределах планово-однородного пла­ста.

3. 
   0 формуле Дюпюи и промежутке высачивания
   

Рассмотрим частный случай формулы (ЗЛО) при h₂ = 0. Тогда h(x) = h₂ V x/L и при х = 0, h = 0, т.е. поперечное
сечение фильтрационного потока равно нулю, а скорость фильтрации неограниченно растет — результат, физиче­ски явно абсурдный.
Не лучше дело обстоит и при более внимательном рассмотрении общего случая h₂ Ф 0. На рис. 3.2 изображе­на линия равных напоров, выходящая из крайней точки А депрессионной кривой. Так как последняя, при отсутст­вии инфильтрации, является линией тока (см. раздел 2.4), то выбранная линия равных напоров АВ перпендикулярна к ней. Кроме того, эта линия должна пересекаться с водо- упором (линией тока) также под прямым углом. На рис.
з.2 отражен примерный характер линии АВ. В то же время через точку А проходит еще одна линия равных напоров — вдоль стенки бассейна ОА. Так как линии равных на­поров О А и 1ЗА имеют общую точку (что само по себе уже свидетельствует о какой-то погрешности в наших рассуж­дениях — см. раздел 2.1), то напоры вдоль них одинаковы
и, следовательно, в клине АОВ вода не движется (перепад напоров равен нулю). Мы, опять-таки, пришли к абсурд­ному результату. Подумайте, в чем причина этих алогиз­мов?
f

Рис. 3.2. Схема фильтрациооного потока вблизи промежутка вы­сачивай ия:
Кривые: 1 - рассчитанная по формуле Дютои; 2 - модельная
Вспомним, что мы имеем дело с моделью плановой фильтрации, которая дает заметные погрешности как раз вблизи границ области фильтрации (см. раздел 2.5). Что­бы выявить эти погрешности, построим депрессионную кривую на бумажной модели ЭГДА. Эта кривая находится на модели подбором: верхний край бумаги постепенно подрезается, пока на нем не будет выполняться условие (2.43). На рис. 3.2 видно, что действительная кривая 2 лежит выше расчетной 1, и на урезе бассейна имеется разрыв между уровнями подземных и поверхностных вод — промежуток высачивания h_e = АА\ вдоль которого гидростатическое давление равно атмосферному, а напор меняется линейно:
H(z) — z . (3.11)
Если теперь мы повторим наши рассуждения, то все алогизмы снимаются.
Из рисунка видно, что на расстоянии от бассейна х₀ порядка h (х₀) кривые практически совпадают, т.е. форму­ла (3.9) для определения мощности потока h применяется здесь уже с высокой точностью (это, кстати, отвечает условию применимости плановой модели (2.50), упомя­нутому ранее). Однако мы должны теперь с сомнением воспринимать формулу Дюпюи для расхода, в которую входит h₂ (а не h₂ + h_e, что, казалось бы, правильнее), но тогда ставится под сомнение и надежность модели плано­вой фильтрации в целом. Между тем сравнение с модели­рованием показывает, что формула Дюпюи дает практи­чески точное значение расхода. Это обстоятельство вызы­вало в свое время большие недоразумения, пока И. А.Чар- ным не была доказана его полная теоретическая право­мерность [32]: оказалось, что формула Дюпюи (3.10) может быть найдена без предположения о плановом ха­рактере фильтрации.

4.