В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

(2.11)
т дт \ дт)
Уравнения жесткого режима фильтрации не содержат времени в явном виде. Следовательно, при неизменных во времени напорах на границах выделенного участка движение жидкости в пределах этого участка должно быть стационарным: Н=/(х, у, z). Физически это означает, что сам водоносный пласт воды не отдает и не принимает (вся вода проходит транзитом от контура питания к контуру стока). При этом реакция на любое возмущение на грани­це участка мгновенно распространяется по вещему пласту как в абсолютно жесткой физической системе .
Понятно, что модель жесткого режима фильтрации, будучи приближенной, дает приемлемые результаты, ког­да транзитный поток резко превышает объемы воды, по­ступающие за счет упругих запасов пласта. Поэтому в целом точность этой модели оказывается обычно тем меньшей, чем больше размеры изучаемой водоносной системы, т.е. модель может быть приемлемой для расчетов систем с близко расположенными границами питания.

3. 
   Расчетная модель упругого режима фильтрации
   

Эта, более общая, модель учитывает сжимаемость пласта и воды, т.е. уравнения состояния имеют вид (1.34) и (1.35). Будем по-прежнему считать, что ввиду малости значений скорости фильтрации (v_x, v_y, v_z) и пространст­во др др\
венной изменчивости плотности произведе­
нием соответствующих величин можно пренебречь: d(p-v_x) dv_{x др} dv_x
дх ^р дх ^Хдх ^р дх (2.12)
И т.д.
Уравнения состояния находят свое суммарное отра­жение в зависимости (1.38), включающей коэффициент упругоемкости; переписывая ее для единичного кубика, содержащего массу жидкости М₀ —рп, получим
dM_n * _п-—= w^tf,
К ¹ (2.13)
откуда
dip п) ~prj*dH, (2.13а)
т.е.
д(рп) *д Н dt ~Р*¹ ~dt' (2.136)
Подставляя выражения (2.12) и (2.13,6) в уравнение неразрывности (2.4), после сокращения на р получим
дх dy dz ^ dt ’ (2.14)
а с учетом закона Дарси приходим к результирующему уравнению:
JL /_{к +} А. (_к , А. (_к !Л\ =„А^Н
д дс ( * дх) dy \ ? dy) dz\^zdz) У dt
(2.15)
Для однородного изотропного пласта
Vfr = i~r,
a At (2.16)
где
* к а = —*
t)* (2.17)
Уравнение вида (2.16), называемое уравнением Фурье, широко исследовано в теории теплопроводности.
Таким образом, в отличие от жесткого режима движе­ния в напорном пласте, уравнения упругого режима на­порной фильтрации содержат приозводную по времени, т.е. в этом случае Н = Н(х, у, z, t) и движение является нестационарным. Физически это означает, что по мере уменьшения напоров во времени в водоносном пласте постепенно срабатываются его упругие запасы. Высво­бождающиеся при этом объемы воды «вкладываются» в общий баланс фильтрационного потока в водоносном пласте. Реакция от возмущения напоров на границе или в какой-либо области рассматриваемого пласта распрост­раняется от этой границы (области) по пласту постепенно, причем скорость распространения тем больше, чем выше проницаемость и чем меньше упругоемкость горной по­роды. Следовательно, отношение а =~¹ является пока­зателем скорости изменения напора (гидростатического
давления) в пласте. Соответственно величина а* полупи­ла название [36] коэффициента пьезопроводностй; ее размерность (L²/T): м/сут, см /с. Например, для напор­ного пласта, сложенного песком с характерными значени­ями к- 10 м/сут, r}*= 10"⁴ м'¹, получаем а* = 10⁵ м²/сут, для глинистых пород с характерными значениями к =
0,001 м/сут, rj*= 10~³ м'¹ имеем а = 1 м²/сут.
В дальнейшем мы узнаем, что размещл области влияния того или иного возмущения пропорциональны УаЧ. Следовательно, из при­веденного примера понятно, что в водоносных слоях фильтрацион­ное возмущение передается со скоростями на несколько порядков большими, чем в водоупорных.

3. 
   Подобие дифференциальных уравнений
   

как основа математического моделирования фильтрации
Так как исходные уравнения состояния, движения и неразрывности лежат в основе математического описания фильтрационного процесса, то формальная идентичность полученных в этом параграфе уравнений дифференци­альным уравнениям какого-либо иного процесса может рассматриваться необходимым признаком для математи­ческой аналогии (наряду с идентичностью краевых усло­вий — см. раздел 2.4)*. Так, применительно к электромо­делированию стационарных фильтрационных процессов эта аналогия ясна из сопоставления уравнения жесткого
режима фильтрации (2.7) и уравнения стационарного электрического тока:

(^с-т
(C_z~~\ = 0 \^zdz_M) (2.
+ с„ ду,
+
dz
дх
18)
д /„ д U \ . д /_г dU\ . д /„ д U
{^y*yJ

U
С
электрический потенциал; удельная электропроводность среды; координаты точек модели.
где
х„ z.
м, ^J м, м
В частном случае профильной двухмерной фильтра­ции, моделируемой на сплошной модели из электропро­водной бумаги, согласно (2.18) получаем

^У1 ди^х Pz dz
*1 ди
Рх дх
_д д х
= 0,
+
д z
(2.18а)
м
м
м
м

где р — удельное сопротивление бумаги.
Для уравнения нестационарной фильтрации (2.15) электрическим аналогом служит уравнение нестационар­ного электрического тока в проводящей среде, характе­ризующейся в каждой ее точке некоторой удельной элек­трической емкостью С:
эи
М \ ” "Л/ ” ^JМ \ ” ^Jм/ ” ~М \ ~ ~м/ д t_M
(2.19)
где t_M — модельное время.
Эквивалентность правых частей этих уравнений обес­печивается введением дополнительных масштабных ко­
эффициентов: ctfj = Ч; иа₍
' ^{С 1}м
t
ЗАДАЧА. Убедитесь прямой подстановкой, что уравнения (2.15) и (2.19) формально подобны при выполнении следующего критерия подобия, дополняющего ранее полученный критерий (1.78):