Vektor boshining koordinatalari

Савол 

Савол 

Quyidagi 













1, 2,3 ,

2,3, 4 ,

2,3, 4

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

1. 

 





1, 2,3

a

, 

( 1, 0, 3)

b



, 





2,1, 1

c



 

vektorlar basis tashkil qilsin. Bu 

bazisda 

d

 vector koordinatalarini 

aniqlang.

 

Quyidagi 













3, 4,5 ,

5, 6, 7 ,

5, 6, 7

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

 

x



,

 

x



nol vektorlar sistemasi 

ixtiyoriy evklid fazoda orthogonal 

bo’ladi, agar 

 

Quyidagi 













3,1, 2 ,

2, 6, 4 ,

3,1, 2

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Koshi Bunyaqovskiy tengsizligi-bu  

 

Quyidagi 













6, 2, 4 ,

3,5, 7 ,

3,1, 2

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Koshi Bunyaqovskiy tengsizligi 

bajariladi: 

 

Quyidagi 













3,1,1 ,

3,1, 2 ,

6, 2, 4

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

 Quydagi shartlardan qaysi biri 

bajarilganda ushbu 

a

  orthogonal 

to’ldiruvchi vektorga vektorlar 

to’plami deyiladi: 





:

a

b

E b

a



 



; 









:

,

0

a

b

E

a b



 



; 





:

0

a

b

E a

b



 

 

; 

 





:

,

0

a

b

E

a b



 



. 

Quyidagi 













1, 2,1 ,

3, 4,5 ,

3, 6,3

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

 

Evklid fazosida nol vector bu-  

Quyidagi 





 

1,5;1 ,

3; 2

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Har qanday vektorga  orthogonal 

to’ldiruvchi hisoblanadi:… 

Quyidagi 

 





7;8 ,

3,5; 4

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Vektorlar to’plami qanday 

bo’lganda ushbu 

М

   to’plam 

orthogonal to’ldiruvchi deyiladi? 

Quyidagi 

 

 

1; 2 ,

3;6

a

b





 vektorlar 

sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

b

 vector  

M

 to’plamga  

orthogonal,   agar (ya’ni  b

M



) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quyidagi 

















0,1, 0 ,

1, 0, 0 ,

0,1,1 ,

0, 0,1

a

b

c

d









 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

  Evklid fazosining vektori uning 

fazo ostisiga orthogonal bo’ladi 

faqat qachonki … 

 

Quyidagi 









3, 4,5 ,

3,1, 2

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

L

E



 (

E

  Evklid fazosi)  

a

 

vectorning chiziqli fazo ostiga  

ortogonal proeksiyasi  Pr

L

a bu: 

Quyidagi 









7,8,9 ,

1, 2,5

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ikki o'zaro orthogonal fazo  

kesishadi faqat: 

 

Quyidagi 









0,1,1 ,

0,1, 0

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

 





T

1

1, 0, 2,1

а

, 





T

2

2,1, 2,3

а

,  





T

3

0,1, 2,1

а



  vektorlarning 

chiziqli qobig’i bo'lgan 



 fazo 

ostisining ortogonal 

to'ldiruvchisining bazisini toping 

 

Quyidagi 









0,1,1 ,

0,1, 0

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Evklid fazo ostisi deyiladi 

Quyidagi 









0,1, 0 ,

1, 0, 0

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ixtiyoriy  chiziqli  fazoda  

 𝚅  

skalyar ko’paytma bu: 

Quyidagi 









0, 0,1 ,

0,1, 0

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Evklid fazosida  ixtiyoriy ikkita  a  

va 

b

 vektor  uchun quyidagilardan 

qaysi to'g'ri bo'ladi: 

 

,

a b

a b



, 

 

,

a b

a b



, 

 

,

a b

a b



, 

 

,

a b

a b



. 

Quyidagi 

 

 

3; 4 ,

1; 2

a

b





 vektorlar 

sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

 Koshi-Bunyakovskiy tengsizlikda

 

,

a b

a b



, tenglik belgisi 

qanday holatda bajariladi? 

Quyidagi 

 

 

1;0 ,

0;1

a

b





 vektorlar 

sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ixtiyoriy Evklid fazosi 

E

 dan 

olinga ixtiyoriy ikkita 

a  ва 

b

 

vektor  uchun quyidagilardan qaysi 

biri o'rinli bo'ladi:  

 

,

a b

a b



, 

 

,

a b

a b



, 

 

,

a b

a b



, 

 

,

a b

a b



. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quyidagi 

1

1

0,

,

, 0

2

2

a

b





























 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

1

2

,

,...,

n

a a

a

  vektorlar sistemasi 

orthogonal deyiladi, agar: 

Quyidagi 

1

1

3,

,

, 0

3

2

a

b





























 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ixtiyoriy 

1

2

,

,...,

n

a a

a

 ortogonal 

tizimlar uchun  o'rinli bo'ladi:   

Quyidagi 









1, 2, 0 ,

3, 2,1

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ushbu  a  vektorga ortogonal 

to'ldiruvchi Evklid fazosi vektorlari 

to'plami deyiladi. Quyidagilardan 

qaysi bajarilganda: 





:

a

b

E b

a



 



, 





:

a

b

E b

a



 



, 





:

a

b

E b a



 

, 





:

a

b

E b a



 

 

 

Quyidagi 









0,1, 0 ,

1, 0, 0 ,

a

b













0,1,1 ,

0, 0,1

c

d





 vektorlar 

sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Berilgan 

M

 vektorlar to'plamiga 

ortogonal to'ldiruvchi  

E

 Evklid 

fazosining vektorlari to'plami 

deyiladi.  Quyidagilardan qaysi 

bajarilganda: 





:

M

a

E b

M

a

b









 

; 





:

M

a

E b

M

a

b









 

; 





:

M

a

M b

E

a

b







  

; 





:

M

a

M b

E

a

b







  

. 

  

Quyidagi 

 

 

 

2,3 ,

1, 0 ,

5, 2

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Munosabatlarning qaysi biri to'g'ri 

 (

E

 - Evklid fazosi): 

E



 

; 

E

E





; 

 

1

E





; 

E



 

 

Quyidagi 

 

 

 

6, 6 ,

6,1 ,

1, 6

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

1

2

,

,...,

n

a a

a

 vector sistemasi 

b

  

vektorlarning chiziqli qobig’iga 

orthogonal bo’ladi qachonki… 

Quyidagi 













0, 2, 0 ,

0,1, 0 ,

0, 0,1

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Vektor fazo ostiga ortogonal 

bo'ladi, qachonki agar:  

Quyidagi 













2, 4, 6 ,

7,8,9 ,

1, 2,3

a

b

c







 

Agar vektorlar tizimi chiziqli erkli 

bo'lsa, uning Gram matritsasi 

qanday bo’ladi? 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

  

Quyidagi 













6, 6,9 ,

4, 2,3 ,

2, 4, 6

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

A: L → L chiziqli operatorining 

xos 

l  qiymatiga mos keladigan xos 

vektorlar to'plami L da  

Quyidagi 













3,8,8 ,

2, 7,5 ,

1,1,3

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Gram matritsasining elementi 

qanday formula bo'yicha 

aniqlanadi? 

Quyidagi 













3,1, 2 ,

5,5, 4 ,

1, 2,1

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 





1

2

3

1

,

,

:

1, 0, 2,1 ,

a a a

a







2

2,1, 2,3

a







3

,

0,1, 2,1

a





. 

Vektorlarga ustiga qurilgan  

ℒ  

fazo ostisi

   ℒ

⊥

 orthogonal 

to’ldiruvchning bazisini toping  

Quyidagi 













1, 1, 2 ,

7,1,5 ,

5,3,1

a

b

c









 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 





1

1,1,1,1

a



,





2

1,1, 1,1

a

 



,





3

2, 0, 2, 0

a



. Vektorlarga ustiga 

qurilgan  

ℒ  fazo ostisi orthogonal 

to’ldiruvchni  toping   

Quyidagi 













0,1,1 ,

1, 0, 0 ,

0,1, 0

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 





1

2, 2, 2, 2

a



 

,





2

3, 1, 1,3

a



 

,





3

2, 2, 0, 4

a





. Ushbu fazo ostisi 

bazisidan foydalanib orthogonal 

bazisni toping 

Quyidagi 













1, 0,1 ,

1, 0, 0 ,

0,1, 0

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Funktsiyalar skalyar 

ko’paytmalaridan tashkil topgan 

Gramm aniqlovchi nolga teng 

bo’ladi, sistemaning

1

2

,

,

,

n

u u

u  

funksiyalari qanday bo’lganda 

Quyidagi 













0,1, 2 ,

5, 6, 0 ,

0, 4, 0

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Har qanday vektor tizimining 

gramm aniqlovchi har doim qanday 

bo’lishi kerak? 

Quyidagi 













0,3,5 ,

0, 0,5 ,

7, 0, 0

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Evklid fazosining nol bo'lmagan 

elementlarining (vektorlarining) 

har qanday ortogonal tizimi 

Quyidagi 













1, 0,1 ,

1,1, 0 ,

0,1,1

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Eng kichik kvadratlar usulida 

taxminiy funktsiyaning 

parametrlari shartdan aniqlanadi: 

Quyidagi 

1 1

1 1

1

1

, ,9 ,

8, ,

,

, 7,

4 4

3 3

4

4

a

b

c











































 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

normal tenglamalar sistemasining 

matritsasi deyiladi 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quyidagi 













2,3, 4 ,

0, 0, 7 ,

3, 6, 0

a

b

c







 

 vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

ℒ 

 

chiziqli fazo quyidagi sistema 

bilan berilgan:

 

 

1

2

3

4

1

2

4

1

2

3

4

2

3

0

3

2

2

0

3

9

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 



















 







 

ℒ

⊥

 ortogonal to’diruvchi bazisini 

toping 

Quyidagi 













1,1,8 ,

1,9, 2 ,

9,3,1

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Evklid fazosining chiziqli fazo 

ostisi ko'rsatilgan xususiyatlardan 

qaysi biri ortogonal to'ldiruvchiga 

ega? 

Quyidagi 













1,8, 2 ,

2, 2,9 ,

7,1, 2

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

  



1,

i

a

i

m



 vektorli sistemaga 

ortogonal deyiladi, agar: 

Quyidagi 













9,3,1 ,

1,9, 2 ,

1,1,8

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Gram-Shmidt teoremasi qaysi 

tasdiqda keltirilgan 













6,9,12 ,

2,3, 4 ,

5, 6, 7

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

T matritsa  har qanday 

  



1,

i

е

i

n



 ortonormal bazisdan 

Evklid fazosining boshqa bazisga 

o'tishda: 













1, 0, 7 ,

8,1,1 ,

2, 0,1

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

1

L  va 

2

L  fazo ostilar, evklid fazosi 

L

 ga ortogonaldir, agar 





1

2

L

L



 













2, 7, 0 ,

5, 6, 0 ,

0,3, 0

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

4

R  arifmetik fazoning 

L

 fazo 

ostini 





1

3, 0, 7, 6

а

 

, 





2

1, 4, 3, 2

а



, 





3

2, 2, 2, 2

а



 

vektorlar 

bilan o'ralgan bo'lsin, 





14, 3, 6, 7

х



  

 vektorning 

L

 fazoga ortogonal 

proektsiyasini toping. 













0,1, 2 ,

5, 6, 0 ,

0, 4, 0

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

4

R  arifmetik fazoning 

L

 fazo 

ostini  





1

3, 0, 7, 6

а

 

, 





2

1, 4, 3, 2

а



, 





3

2, 2, 2, 2

а



 

 

vektorlar bilan o'ralgan holda,  

L

da aniqlangan  х  perpendikulyarni 

toping: 













0,1, 2 ,

5, 6, 0 ,

0, 4, 0

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

Nol vektorlarning ortogonal 

sistemasi qanaqa bo’ladi? 

 

Barcha 

n n



matritsalar fazosining 

o’lchovi nimaga teng? 

Quyidagi shartlardan qaysi biri 

bajarilganda haqiqiy kvadrat 

matritsa ortogonal deb ataladi: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

А А Е



; 

2

А

Е



; 

1

А А

Е







; 

Т

А А

Е





. 

Barcha 

n n



dioganal matritsalar 

fazosining o’lchovi nimaga teng? 

1

,

,...,

k

k

 



vektor tizimi faqat 

qanday hollarda chiziqli bog'liq 

bo’ladi? 

Barcha 

n n



 uchburchakli matritsalar 

fazosining o’lchovi nimaga teng? 

1

,

,...,

k

k

а а

а

 vektorlar sistemasi 

ortogonalashtish jarayonida Gram 

matritsani determinant qanday 

o’zgaradi? 

 

Barcha 

n n



 simmetrik matritsalar 

fazosining o’lchovi nimaga teng? 

Munosabatlarning qaysi biri to'g'ri 

 (

E

 - Evklid fazosi): 

E



 

; 

E

E





; 

 

1

E





; 

E



 

 

,

m n

R



 da barcha mumkin bo’lgan 

sin

cos

y

m

x n

x





funksiyalarning 

o’lchovi nimaga teng? 

4

R  arifmetik fazoning 

L

 fazo 

ostini  





1

3, 0, 7, 6

а

 

, 





2

1, 4, 3, 2

а



, 





3

2, 2, 2, 2

а



 

 

vektorlar bilan o'ralgan holda,  

L

da aniqlangan 

х  perpendikulyarni 

toping: