Vektorlar va ular ustida amallar Mundarija: I. bob. Vektor tushunchasi va eng oddiy amallar

Eslatma: Vektorlarni qo'shishning yana bir qoidasi bor, bu "paralelogramma qoidasi" deb ataladi: vektorlar va umumiy kelib chiqishi O ga qo'llaniladi va ularga parallelogramma quriladi (4-rasm). Yig'indi parallelogramma diagonallarida joylashgan vektor bo'ladi. Bu erda farq ikkinchi diagonalda joylashgan vektor bo'ladi.
Vektor algebrasi ikki turdagi miqdorlar bilan shug'ullanadi: vektorlar va raqamlar. Raqamlar odatda skalyar miqdorlar yoki skalerlar deb ataladi .
Ta'rif: vektorning l haqiqiy soniga (skaler) ko'paytmasi vektor deyiladi, shundayki 1) ; 2) vektor vektorga kollinear; 3) vektorlar va l > 0 (l < 0) bo'lsa, bir xil (qarama-qarshi) yo'nalishga ega.
Eslatma: l = 0 bo'lsa yoki mahsulot nol vektor bo'lsa.
Vektorni raqamga ko'paytirish amali quyidagi xususiyatlarga ega:
1. (omillarning assotsiativ xossasi);
Haqiqatan ham, tenglikning ikkala tomonida joylashgan vektorlar bir xil uzunlikka ega ekanligini ta'kidlaymiz. Bundan tashqari, ular kollinear va teng yo'naltirilgan, chunki l va m belgilari bir xil bo'lsa, ularning yo'nalishi yo'nalishga to'g'ri keladi va l va m ning belgilari har xil bo'lsa, yo'nalishga qarama-qarshi bo'ladi. Agar l yoki m nolga teng bo'lsa, tenglikning ikkala qismi ham nolga teng. Mulk isbotlangan.
2. (tarqatuvchi xususiyatlar).
Qaerda va bo'lgan OAB uchburchagini quramiz . Keyinchalik, SPQ uchburchagini quramiz , bu erda va. SPQ uchburchakning SP , PQ tomonlari OAB uchburchakning OA , AB tomonlariga parallel va proporsional boʻlgani uchun bu uchburchaklar oʻxshashdir. Demak, SQ tomoni ham OB tomoniga parallel va ularning uzunliklarining nisbati ham |l| ga teng. Bundan tashqari, l > 0 bo'lsa, i teng yo'naltirilganligi aniq. Bundan kelib chiqadiki. Ammo taqsimotning birinchi xossasi shundan kelib chiqadi.
Ko'rinib turibdiki, ikkinchi distributiv xususiyatning ikkala qismida joylashgan vektorlar kollineardir. Avval l va m ning belgilari bir xil deb faraz qilaylik. Keyin va vektorlari xuddi shunday yo'naltiriladi va ularning yig'indisining uzunligi ularning uzunliklarining yig'indisiga teng, ya'ni. Ammo shuning uchun bu holda vektorlar uzunligi teng bo'ladi. Ularning yo‘nalishi l va m ning umumiy belgisi musbat bo‘lsa, vektor yo‘nalishiga to‘g‘ri keladi, manfiy bo‘lsa, unga qarama-qarshi bo‘ladi. Keling, l va m belgilari har xil deb faraz qilaylik va aniqlik uchun |l| ni ko'rib chiqamiz. > |m|. Bunday holda, yig'indining uzunligi uzunliklar farqiga teng, to'g'rirog'i . Lekin Binobarin, bu holda vektor uzunligi vektor uzunligiga teng bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, bu ikkala vektor ham xuddi shunday yo'naltirilgan. Agar |l| = |m| va l va m ning belgilari qarama-qarshi bo'lsa, tenglikning ikkala qismi ham nolga teng. Xuddi shu holat vektor yoki ikkala skalar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lsa sodir bo'ladi.