Vektorlar va ular ustida amallar Mundarija: I. bob. Vektor tushunchasi va eng oddiy amallar

Natija .  Agar va vektorlar  kollinear bo'lmasa, ular chiziqli mustaqildir.
2-teorema . Uch vektor chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ularning koplanar bo'lishi zarur va etarli.
Zaruriyat . Vektorlar  ,  va  chiziqli bog'liq bo'lsin. Keling, ularning koplanar ekanligini ko'rsataylik.
Vektorlarning chiziqli bog'liqligini ta'rifi raqamlar mavjudligini nazarda tutadi  va  shunday chiziqli birikma  , va ayni paytda (aniqlik uchun)  .  U holda bu tenglikdan :  = vektorini ifodalash mumkin  , ya'ni vektor  bu tenglikning o'ng tomonidagi vektorlarga qurilgan parallelogramma diagonaliga teng (2.6-rasm).  Bu shuni anglatadiki , vektorlar bir tekislikda yotadi  .
Etarlilik . Vektorlar koplanar  bo'lsin . Keling, ularning chiziqli bog'liqligini ko'rsataylik.
Har qanday vektor juftining kollinearlik holatini istisno qilaylik (chunki u holda bu juftlik chiziqli bog'liq va 3-sonli xulosaga ko'ra (1 0 bandiga qarang ⁾ uchta vektor ham chiziqli bog'liqdir). E'tibor bering, bunday taxmin ko'rsatilgan uchtasi orasida nol vektor mavjudligini ham istisno qiladi.
Biz uchta koplanar vektorni bir tekislikka o'tkazamiz va ularni umumiy kelib chiqishiga keltiramiz. Vektorning uchi orqali  vektorlarga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz  va  ; bu holda vektorlarni olamiz  va (2.7-rasm) - ularning mavjudligi vektorlar va faraz vektorlari bilan kollinear emasligi  bilan ta'minlanadi . Bundan kelib chiqadiki, vektor = + . Ushbu tenglikni ( –1 ) + + =0 ko'rinishida qayta yozsak , vektorlar va chiziqli bog'liq degan xulosaga kelamiz .
Tasdiqlangan teoremadan ikkita xulosa kelib chiqadi.
Xulosa 1 . Kollinear vektorlar  bo'lmasa ham , vektor va vektorlari bilan aniqlangan tekislikda yotuvchi ixtiyoriy vektordir . Keyin raqamlar va shunga o'xshashlar mavjud
=  +  . (2.10)