Vektorlar va ular ustida amallar Mundarija: I. bob. Vektor tushunchasi va eng oddiy amallar

Teorema: Agar vektor nolga teng bo'lmagan vektorga kollinear bo'lsa, u holda l haqiqiy soni mavjud bo'lib, = l.

VEKTORLAR USTIDAGI ENG ODDIY AMALLAR.
Vektorlar ustidagi eng oddiy amallar vektorlarni qo'shish va ayirish va vektorni skalerga ko'paytirishni o'z ichiga oladi. Bu operatsiyalarning barchasi chiziqli deb ataladi.
1) Vektorlarni qo'shish.
Ta'rif 1 . Ikki vektorning yig'indisini topish uchun  va vektorning oxirini boshi bilan birlashtirish  kerak . Nuqtalarni bog'lovchi vektor va ularning yig'indisi bo'ladi.

Jami quyidagicha belgilanadi:  . Uning qiymatini boshqa yo'l bilan topish mumkin.  va vektorlarining boshlanishi  birlashtirilib, yon tomonlarida bo'lgani kabi ularning ustiga parallelogramma quriladi. Paralelogrammaning diagonali vektorlar yig'indisi bo'ladi.

Paralelogramma qoidasidan vektorlar yig'indisi kommutativ xususiyatga ega ekanligini ko'rish mumkin
. 
Agar ko'proq atamalar mavjud bo'lsa, masalan, uchta:  , quyidagicha davom eting. Birinchidan, yig'indini tuzing  , so'ngra ni qo'shib  , vektorni oling  .

Rasmdan ko'rinib turibdiki, agar biz avval qo'shsak  va keyin qo'shsak  , xuddi shunday natija bo'ladi, ya'ni vektorlar yig'indisi kombinatsiyalangan xususiyatga ega bo'ladi:
.
Agar bir nechta vektor qo'shilganda, oxirgi vektorning oxiri birinchisining boshiga to'g'ri kelsa, yig'indi vektor nolga teng bo'ladi  . Shubhasiz  .
2) Vektorlarning farqi.
Ta'rif 2 . Ikki vektorning farqi shunday vektor deb ataladi  , uning yig'indisi ayirboshlash bilan vektor beradi .
Shunday qilib, agar bo'lsa  , unda  .
Ikki vektor yig'indisining ta'rifidan farqni qurish qoidasi kelib chiqadi.  Vektorlarni chetga surib qo'ying va umumiy nuqtadan  . Vektor  vektorlarning uchlarini bog'laydi  va  va pastki qismdan minuendga yo'naltiriladi.

Ko'rinib turibdiki, agar  va vektorlari ustiga  parallelogramm qurilsa , uning diagonallaridan biri ularning yig'indisiga, ikkinchisi esa ayirmasiga mos keladi.
3) vektorni songa ko'paytirish.
Ta'rif 3 . Vektorning  raqamga ko'paytmasi quyidagi shartlar bilan aniqlangan  vektordir :
1)  ;
2) vektor  vektorga kollinear  ;
3) vektorlari  va agar , agar ga qarama-qarshi bo'lsa,  xuddi shunday yo'naltiriladi .
Shubhasiz, vektorni raqamga ko'paytirish operatsiyasi uning kengayishi yoki qisqarishiga olib keladi. Qarama-qarshi vektorni vektorni ga  ko'paytirish natijasi sifatida tasavvur qilish mumkin . Demak, .
3-ta’rifdan kelib chiqadiki, agar , va  vektorlari kollineardir. Bu kollinear vektorlarning ta'rifini nazarda tutadi.
Ta'rif 4. Har qanday ikkita vektor  va  ular , munosabati bilan bog'langan bo'lsa, kollinear bo'ladi  , bu erda  qandaydir son.
Qiymat  nisbatdan aniqlanishi mumkin  . Agar vektorlar bir yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lsa, bu ijobiy, agar vektorlarning yo'nalishi qarama-qarshi bo'lsa, aksincha.
Paralelogrammani qurishdan vektorni songa ko'paytirish distributiv xususiyatga ega ekanligini tushunish oson:
; 
va kombinatsiyalangan xususiyat
.
Ta'rif 5. Uzunligi bir ga teng vektor birlik vektor yoki birlik vektor deyiladi.
Birlik vektorlari yoki belgilari bilan belgilanadi  .
Birlik vektor tushunchasidan foydalanib, har qanday vektorni quyidagicha ifodalash mumkin:  .
Raqamli matritsalar.