Вероятность и статистика

Формы закона распределения ДСВ

1. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, называемая рядом распределения ДСВ.

Для элементов нижней строки должно выполняться условие:  .
2. Формой задания закона распределения является многоугольник распределения - фигура, получаемая при графическом изображении ряда распределения.
Возможные значения откладываются по оси {Ох). Вероятности возможных значений откладываются по оси (Оу).
Механическая интерпретация ряда распределения ДСВ: Распределение единичной массы в нескольких изолированных точках по оси (Ох). (В отдельных точках  сосредоточены соответственно массы  , сумма которых равна 1.)

Математическое ожидание

Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных ее значений на их вероятности.
Если  есть (полный) набор всех значений дискретной случайной величины  — соответствующие им вероятности, то, обозначая буквой М математическое ожидание, будем иметь

где
Очевидно, математическое ожидание случайной величины X не изменится, если таблицу значений ее пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю.
Математическое ожидание М (X) случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины X.
Основные свойства математического ожидания
Укажем важнейшие свойства математического ожидания. Доказательства будут проведены для дискретных случайных величин. Однако соответствующие теоремы справедливы также и для непрерывных случайных величин, поэтому при формулировках этих теорем мы не будем упоминать, что рассматриваемые случайные величины дискретны.
Нам понадобится выяснить смысл арифметических операций  и т. п., где X и У — дискретные случайные величины. Нетрудно дать соответствующие определения.
Например, под суммой X + У понимается случайная величина Z, значениями которой являются допустимые суммы  — все возможные значения соответственно случайных величин X и У, причем соответствующие вероятности равны

Если какая-нибудь из комбинаций  невозможна, то условно полагают  ; это не отразится на математическом ожидании суммы.
Аналогично определяются остальные выражения.
Различают также независимые и зависимые случайные величины. Две случайные величины считаются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае они называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

Дисперсия

Пусть X — случайная величина, М(Х) — ее математическое ожидание (среднее значение). Случайную величину X - М(Х) называют отклонением.