Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

n+2
¶
(3.4.21)
asimptotik yoyilma kelib chiqadi. Bu yerda p =
£
n−1
2
¤
, C
1
, C
3
, . . . , C
2p+1
o‘zgarmas sonlar bo‘lib, ular a
1
, a
3
, . . . , a
2
[
n
2
]
+1
larga bog‘liq bo‘ladi. C
n+1
(k)
164

esa quyidagi
C
n+1
(k) =
(
a
n+1
−Re˜
θ
n
(k)
(−1)
m
2
n+1
π
,
n = 2m,
Im˜
θ
n
(k)
(−1)
m+1
2
n+1
π
,
n = 2m + 1,
(3.4.22)
tenglikdan aniqlanadi, bunda
Re˜
θ
n
(k) = (−1)
n
π
R
0
q
(n)
(s) cos 2ksds,
Im˜
θ
n
(k) = (−1)
n
π
R
0
q
(n)
(s) sin 2ksds.
(3.4.23)
Endi, siljigan argumentli
−y
00
+ q(x + t)y = λ
2
y, q
(i)
(0) = q
(j)
(π), j = 1, n − 1,
q
(n)
(x) ∈ L
1
(0, π), 0 ≤ x, t ≤ π
(3.4.24)
Xill tenglamasi uchun
y(0) = 0, y(π) = 0
(3.3.24
0
)
Dirixle chegaraviy masalasini qaraylik. U holda (3.4.24)+(3.4.24‘) chegaraviy
masalaning λ
2
k
= ξ
k
(t) xos qiymatlari ham o‘z navbatida t parametrga bog‘liq
bo‘lib, ξ
k
(t) ning [λ
2k−1
, λ
2k
] lakunada joylashishi birinchi bobning uchinchi para-
grafidan ma’lum. Shu paragrafdagi natija 1.3.1 ga asosan lakuna uzunligi uchun
λ
2k
− λ
2k−1
= max
0≤t≤π
ξ
k
(t) − min
0≤t≤π
ξ
k
(t)
(3.4.25)
tenglik o‘rinli. Birinchi bobning uchinchi paragrafidagi mulohazalar asosida
(3.4.24)+(3.4.24‘) chegaraviy masalaning λ
2
k
= ξ
k
(t) xos qiymatlari uchun
p
ξ
k
(t) = k +
C
1
(t)
k
+
C
3
(t)
k
3
+ ... +
C
2p+1
(t)
k
2p+1
+
C
n+1
(k, t)
k
n+1
+ O
µ
1
k
n+2
¶
(3.4.26)
asimptotikani yozishimiz mumkin. Bu yerda p =
£
n−1
2
¤
.
Berilgan q(x) funksiya π davrli bo‘lgani uchun q(x + t) va (3.3.27‘) formula
yordamida aniqlangan σ(x + t) funksiyalar ham π davrli bo‘ladi. Shuning uchun,
a
m
(t) =
π
Z
0
σ
m
(x + t)dx =
π+t
Z
t
σ
m
(z)dz,
da
m
(t)
dt
= σ
m
(π + t) − σ
m
(t) = 0
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa a
m
(t) integralning t ga bog‘liq bo‘lmasligini
ko‘rsatadi. Bundan esa (3.4.26) asimptotikada qatnashuvchi C
1
(t), C
3
(t), . . . ,
165

C
2p+1
(t), p =
£
n−1
2
¤
lar ham t parametrga bog‘liq bo‘lmasligi kelib chiqadi. Shun-
day qilib, (3.4.24) va (3.4.24‘) chegaraviy masalaning ξ
k
(t) xos qiymatlari uchun
p
ξ
k
(t) = k +
C
1
k
+
C
3
k
3
+ ... +
C
2p+1
k
2p+1
+
C
n+1
(k, t)
k
n+1
+ O
µ
1
k
n+2
¶
(3.4.27)
asimptotik yoyilma o‘rinli bo‘ladi. Bunda C
1
, C
3
, . . . , C
2p+1
, p =
£
n−1
2
¤
lar sof
o‘zgarmas sonlar bo‘lib, C
n+1
(k, t) esa t parametrga bog‘liq funksiya bo‘ladi va
quyidagi formula yordamida aniqlanadi:
C
n+1
(k, t) =







1
(−1)
m
2
n+1
π
·
a
n+1
−
π
R
0
q
(n)
(x + t) cos 2kxdx
¸
, n = 2m,
1
(−1)
m
2
n+1
π
π
R
0
q
(n)
(x + t) sin 2kxdx, n = 2m + 1.
(3.4.28)
Bu yerda
π
Z
0
q
(n)
(x + t) cos 2kxdx =
π+t
Z
t
q
(n)
(z) cos 2k(z − t)dz =
=


π
Z
0
q
(n)
(z) cos 2kzdz

 cos 2kt +


π
Z
0
q
(n)
(z) sin 2kzdz

 sin 2kt =
= A
k
cos 2kt + B
k
sin 2kt.
(3.4.29)
π
Z
0
q
(n)
(x + t) sin 2kxdx = B
k
cos 2kt − A
k
sin 2kt,
A
k
=
π
Z
0
q
(n)
(z) cos 2kzdz, B
k
=
π
Z
0
q
(n)
(z) sin 2kzdz.
(3.4.29) tenglikni (3.4.28) tenglikga qo‘yib,
C
n+1
(k, t) =
(
(−1)
m
2
n+1
π
{a
n+1
− A
k
cos 2kt − B
k
sin 2kt}, n = 2m,
(−1)
m+1
2
n+1
π
{B
k
cos 2kt − A
k
sin 2kt} , n = 2m + 1
(3.4.30)
ekanligini topamiz.
Shunday qilib, lakunaning γ
k
= λ
2k
− λ
2k−1
= max ξ
k
(t) − min ξ
k
(t) uzun-
ligini baholash masalasi a cos α + b sin α, 0 ≤ α ≤ 2π ifodaning maksimum va
minimumlarini hisoblash masalasiga keltirildi. Shu maqsadda max
0≤t≤π
C
n+1
(k, t) va
166

min
0≤t≤π
C
n+1
(k, t) larni topamiz:
max
0≤t≤π
C
n+1
(k, t) =
(
1
2
n+1
π
h
(−1)
m
a
n+1
+
p
A
2
k
+ B
2
k
i
, n = 2m,
1
2
n+1
π
p
A
2
k
+ B
2
k
, n = 2m + 1,
min
0≤t≤π
C
n+1
(k, t) =
(
1
2
n+1
π
h
(−1)
m
a
n+1
−
p
A
2
k
+ B
2
k
i
, n = 2m,
−
1
2
n+1
π
p
A
2
k
+ B
2
k
,
n = 2m + 1.
Bu tengliklarga ko‘ra
max
0≤t≤π
C
n+1
(k, t) − min
0≤t≤π
C
n+1
(k, t) =
1
2
n
π
q
A
2
k
+ B
2
k
=
1
2
n
π
|A
k
+ iB
k
| (3.4.31)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
(3.4.24)+(3.4.24‘) Dirixle masalasining ξ
k
(t) xos qiymatlari λ
2k−1
≤ ξ
k
(t) ≤
λ
2k
, ya’ni
√
λ
2k−1
≤
p
ξ
k
(t) ≤
√
λ
2k
tengsizliklarni qanoatlantirgani uchun
quyidagi
p
λ
2k−1
= k +
C
1
k
+
C
3
k
3
+ ... +
C
2p+1
k
2p+1
+
min
0≤t≤π
{C
n+1
(k, t)}
k
n+1
+ O
µ
1
k
n+2
¶
,
p
λ
2k
= k +
C
1
k
+
C
3
k
3
+ ... +
C
2p+1
k
2p+1
+
max
0≤t≤π
{C
n+1
(k, t)}
k
n+1
+ O
µ
1
k
n+2
¶
asimptotikalar o‘rinli. Bunga ko‘ra
p
λ
2k
−
p
λ
2k−1
=
max C
n+1
(k, t) − min C
n+1
(k, t)
k
n+1
+ O
µ
1
k
n+2
¶
asimptotikani topamiz.
Nihoyat, lakuna uzunligi uchun
γ
k
=
¡√
λ
2k
−
√
λ
2k−1
¢ ¡√
λ
2k
+
√
λ
2k−1
¢
=
½
1
2
n
π
¯
¯
¯
¯
π
R
0
q
(n)
(z)e
2ikz
dz
¯
¯
¯
¯
1
k
n+1
+ O
¡
1
k
n+2
¢
¾
×
×
©
2k + O
¡
1
k
¢ª
=
1
2
n−1
πk
n
¯
¯
¯
¯
π
R
0
q
(n)
(z)e
2ikz
dz
¯
¯
¯
¯ + O
¡
1
k
n+1
¢
formula kelib chiqadi. Bu formulaning n = 0 xususiy holi E.Ch.Titchmarshning
[260] monografiyasida va mazkur bobning birinchi paragrafida keltir-
ilgan.
Yuqoridagi
asimptotikani
keltirib
chiqarishda
B.M.Levitan
va
G.Sh.Guseynovlarning [155] maqolasidan foydalanildi. Lakunalar uzunligini
hisoblash jarayonida olingan natijani teorema shaklida bayon qilamiz.
Teorema 3.4.1. (B.M.Levitan, G.Sh.Guseynov) Agar q(x) haqiqiy funksiya
ushbu
q
(j)
(x) ∈ C[0, π], q
(i)
(0) = q
(j)
(π), j = 1, n − 1,
167

q
(n)
(x) ∈ L
1
(0, π), q
(j)
(x) =
d
j
dx
j
q(x)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda Xill operatori lakunalari uzunliklari γ
k
uchun
quyidagi
γ
k
=
1
2
n−1
πk
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
Z
0
q
(n)
(z)e
2ikz
dz
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ O
µ
1
k
n+1
¶
(3.4.32)
baho o‘rinli bo‘ladi.
(3.4.27) asimptotikadan va lemma 1.3.3-1.3.5 lardan quyidagi V.A.Marchenko
teoremasi ham kelib chiqadi.
Teorema 3.4.2.(1974 – yil, V.A.Marchenko,[184]) Aytaylik q(x) haqiqiy
funksiya ushbu
q
(j)
(x) ∈ C[0, π], q
(j)
(0) = q
(j)
(π), j = 1, n − 1, q
(n)
(x) ∈ L
1
(0, π)
shartlarni qanoatlantirsin. U holda Xill tenglamasiga qo‘yilgan davriy va yarim-
davriy chegaraviy masalalarning xos qiymatlari uchun
√
λ
2k−1
= k +
C
1
k
+
C
3
k
3
+ ... +
C
2p+1
k
2p+1
+ O
¡
1
k
n+1
¢
,
√
λ
2k
= k +
C
1
k
+
C
3
k
3
+ ... +
C
2p+1
k
2p+1
+ O
¡
1
k
n+1
¢
(3.4.33)
asimptotikalar o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda p =
£
n−1
2
¤
. (3.4.33) asimptotik formu-
lalardan lakunalar uzunliklari γ
k
uchun
γ
k
≡ λ
2k
− λ
2k−1
= O
µ
1
k
n
¶
(3.4.34)
tenglik o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi.
Ushbu W
n
2
[0, π] Sobolev fazosining qism fazosini quyidagicha aniqlaymiz:
˜
W
n
2
[0, π] =
n
f (x) ∈ W
n
2
[0, π] : f
(k)
(0) = f
(k)
(π), k = 0, n
o
.
Koeffitsiyenti q(x) ∈ ˜
W
n
2
[0, π] fazoga qarashli bo‘lgan (3.1.1), (3.1.2) davriy
va (3.1.1)+(3.1.3) yarimdavriy chegaraviy masalalar xos qiymatlarining asimp-
totikasi V.A.Marchenko tomonidan yanada aniqlashtirilgan. Shu maqsadda, biz
V.A.Marchenkoning [186] monografiyasida olingan tasdiqlarning ayrimlarini kelti-
ramiz.
Teorema 3.4.3. (V.A.Marchenko,[186]) Agar haqiqiy funksiya q(x) ∈
˜
W
n
2
[0, π] bo‘lsa u holda (3.1.1), (3.1.2) davriy va (3.1.1), (3.1.3) yarimdavriy
chegaraviy masalalarning xos qiymatlari uchun ushbu
p
λ
2k−1
,
p
λ
2k
= k +
X
1≤2j+1≤n+2
a
2j+1
(2k)
2j+1
∓
|e
n
(2k)|
(2k)
n+1
+
γ
∓
k
k
n+2
(3.4.35)
168

tenglik bajariladi. Bu yerda
e
n
(p) =
1
π
π
Z
0
q
(n)
(x)e
−ipx
dx,
∞
X
k=0
¯
¯γ
∓
k
¯
¯
2
< ∞.
(3.4.36)
Natija 3.4.1. Haqiqiy q(x) ∈ L
2
[0, π] funksiya ˜
W
n
2
[0, π] fazoga qarashli
bo‘lishi uchun
∞
X
k=1
k
2(n+1)
¯
¯
¯
p
λ
2k
−
p
λ
2k−1
¯
¯
¯
2
< ∞
(3.4.37)
qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Natija isbotining zaruruiy qismi teorema 3.4.3 dan kelib chiqadi.
Yetarliligini isbotlash uchun teskarisini faraz qilamiz. Aytaylik q(x) ∈ ˜
W
m
2
[0, π]
bo‘lib, q(x) /
∈ ˜
W
m+1
2
[0, π] bo‘lsin. Bu yerda m + 1 ≤ n. U holda teorema 3.4.3
ga asosan, ushbu
p
λ
2k
−
p
λ
2k−1
=
2|e
m
(2k)|
(2k)
m+1
+
γ
+
k
− γ
−
k
k
m+2
(3.4.38)
p
λ
2k
+
p
λ
2k−1
= 2k + O
µ
1
k
¶
(3.4.39)
tengliklarni yozish mumkin. Bunda (3.4.38) tenglikdan foydalanib.
4k|e
m
(2k)| = 2
m+2
(γ
−
k
− γ
+
k
) + 2
m+2
h
k
n+1
p
λ
2k
−
p
λ
2k−1
i
k
m+1−n
munosabatni topib olamiz. Oxirgi tenglikning ikkala qismini kvadratga ko‘tarib,
ushbu
(2k|e
m
(2k)|)
2
= 4
m+2
(γ
−
k
− γ
+
k
)
2
+ 4
m+2
h
k
2(n+1)
¡√
λ
2k
−
√
λ
2k−1
¢
2
i
1
k
2(n−(m+1))
+
+2 · 4
m+2
(γ
−
k
− γ
+
k
)
£
k
n+1
¡√
λ
2k
−
√
λ
2k−1
¢¤
1
k
n−(m+1)
tenglikni hosil qilamiz. Bunda k
−1
≤ 1, k ∈ N tengsizlikdan va quyidagi
∞
X
k=1
(γ
−
k
− γ
+
k
)
2
< ∞,
∞
X
k=1
k
2(n+1)
(
p
λ
2k
−
p
λ
2k−1
)
2
< ∞,
∞
P
k=1
(γ
−
k
− γ
+
k
)
£
k
(n+1)
(
√
λ
2k
−
√
λ
2k−1
)
¤
≤
≤ 2
−1
µ
∞
P
k=1
(γ
−
k
− γ
+
k
)
2
+
∞
P
k=1
£
k
2(n+1)
(
√
λ
2k
−
√
λ
2k−1
)
2
¤
¶
< ∞
qatorlar yaqinlashuvchiligidan foydalansak, ushbu
∞
X
k=1
(2k|e
m
(2k)|)
2
< ∞
169

qatorning ham yaqinlashishini ko‘rsatish mumkin. Bu esa (q
(m)
(x))
0
= q
(m+1)
(x)
hosilaning mavjudligini va
q
(m+1)
(x) =
∞
X
k=1
2ike
m
(2k)e
2ikx
,
π
Z
0
¯
¯
¯q
(m+1)
(x)
¯
¯
¯
2
dx =
∞
X
k=1
|2ke
m
(2k)|
2
< ∞
tengliklarning bajarilishini ta’minlaydi. Oxirgi tenglik q(x) ∈ ˜
W
m+1
2
[0, π] ekani-
ni ko‘rsatadi. Bu esa yuqorida qilgan farazimizga zid keladi. Demak, q(x) ∈
˜
W
n
2
[0, π].
Teorema 3.4.4. (V.A.Marchenko) Haqiqiy q(x) ∈ L
2
[0, π] funksiya
˜
W
n
2
[0, π] fazoga qarashli bo‘lishi uchun
∞
X
k=1
k
2n
γ
2
k
< ∞
(3.4.40)
qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarli. Bu yerda γ
k
k-lakunaning uzun-
ligi, ya’ni