Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

λ
2n−1
, λ
2n
] lakunani diametr qilib aylana chizamiz, bu
aylananing markazi lakuna o‘rtasida, ya’ni
λ
2n−1
+λ
2n
2
nuqtada, radiusi esa lakuna
uzunligining yarmiga teng bo‘ladi, ya’ni
λ
2n
−λ
2n−1
2
ga teng bo‘ladi. Agar aylanadagi
nuqtani λ = ξ
n
+ iη
n
deb olsak, bu aylananing tenglamasi
µ
ξ
n
−
λ
2n−1
+ λ
2n
2
¶
2
+ η
2
n
=
µ
λ
2n
− λ
2n−1
2
¶
2
,
η
2
n
= (λ
2n
− ξ
n
)(ξ
n
− λ
2n−1
)
ko‘rinishda bo‘ladi. Agar aylana markazidan aylananing λ = ξ
n
+ iη
n
nuqtasiga
o‘tkazilgan radius vektor va haqiqiy o‘qning manfiy yo‘nalishi orasidagi burchakni
2ϕ
n
deb olsak, u holda qaralayotgan aylananing parametrik tenglamasi
ξ
n
+ iη
n
=
λ
2n−1
+ λ
2n
2
+
λ
2n
− λ
2n−1
2
e
i(π−2ϕ
n
)
,
ya’ni
ξ
n
=
λ
2n−1
+ λ
2n
2
−
λ
2n
− λ
2n−1
2
cos 2ϕ
n
,
η
n
=
λ
2n
− λ
2n−1
2
sin 2ϕ
n
bo‘ladi. Bularga ko‘ra
ξ
n
= λ
2n−1
+ (λ
2n
− λ
2n−1
) sin
2
ϕ
n
va sign(η
n
) = sign(sin 2ϕ
n
)
bo‘ladi. Xususan, η
n
= sign (sin 2ϕ
n
)
p
(λ
2n
− ξ
n
)(ξ
n
− λ
2n−1
).
Agar yuqoridagi aylananing λ = ξ
n
+ iη
n
nuqtasi bir yo‘nalishda harakat
qilaversa, uning haqiqiy o‘qdagi proeksiyasi, ya’ni ξ
n
nuqta aylananing diametri
bo‘yicha borib kelib turadi. Agar diametrni ikki qirg‘oqli deb qarasak, ξ
n
nuqta
borishin bir qirg‘oq bo‘yicha, kelishin boshqa qirg‘oq bo‘yicha harakat qiladi. Bu
izoh Dubrovin-Trubovis sistemasini soddalashtirishda muhim o‘rin egallaydi.
185

Endi spektral parametrlarning harakat tenglamasini, ya’ni Dubrovin-
Trubovis differentsial tenglamalar sistemasini keltirib chiqaramiz.
Birinchi usul: Aniqlanishiga ko‘ra ξ
n
(t), n ≥ 1 spektral parametr ushbu
ϕ(π, λ, t) = 0 tenglamaning ildizlari bo‘ladi. ϕ(π, λ, t) butun funksiya bo‘lgani
uchun ushbu
ϕ(π, λ, t) = π
∞
Y
k=1
ξ
k
(t) − λ
k
(4.2.6)
yoyilma o‘rinli. Bundan foydalanib quyidagi
˙
ϕ(π, λ, t)|
λ=ξ
n
(t)
= π ·
˙ξ
n
(t)
n
2
·
∞
Y
k=1,
k6=n
ξ
k
(t) − ξ
n
(t)
k
2
.
tenglikni topamiz. Ushbu
∆
2
(λ) − 4 = [θ(π, λ, t) − ϕ
0
(π, λ, t)]
2
+ 4θ
0
(π, λ, t)ϕ(π, λ, t)
(4.2.7)
ayniyatdan esa quyidagi
[ϕ
0
(π, λ, t) − θ(π, λ, t)]|
λ=ξ
n
(t)
= σ
n
(t)
p
∆
2
(ξ
n
(t)) − 4
tenglik kelib chiqadi. Yuqoridagi (4.2.3) ayniyatga asosan
π ·
˙ξ
n
(t)
n
2
·
∞
Y
k=1,
k6=n
ξ
k
(t) − ξ
n
(t)
k
2
= σ
n
(t)
p
∆
2
(ξ
n
(t)) − 4,
munosabatni topamiz. Bundan
˙ξ
n
(t) =
n
2
σ
n
(t)
p
∆
2
(ξ
n
(t)) − 4
π ·
∞
Q
k=1,
k6=n
ξ
k
(t)−ξ
n
(t)
k
2
, n = 1, 2, ... .
(4.2.8)
differensial tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu differentsial tenglamalar sis-
temasi lakunalar soni cheklita bo‘lgan holda, ya’ni chekli zonali kvazidavriy
potentsiallar holida 1975 yilda B.A.Dubrovin, davriy potentsiallar holida esa
1977 yilda E.Trubovis va cheksiz zonali deyarli davriy potensiallar uchun
B.M.Levitan tomonidan olingan. Hozirgi kunda bu differensial tenglamalar sis-
temasiga Dubrovin-Trubovis sistemasi deyiladi. Bu sistemada no’malumlar soni
ham, tenglamalar soni ham cheksiz ko‘p. Dubrovin-Trubovis sistemasining o‘ng
tomonlariga t parametr oshkor ravishda kirmaganligi tufayli u muxtor sistemadir.
Keyinchalik biz Dubrovin-Trubovis sistemasini keltirib chiqarishning
boshqacha usulini ham o‘rganamiz.
186

Ikkinchi usul. Dastlab quyidagi
½
L(t)y ≡ −y
00
+ q(x + t)y = λy
y(0) = 0, y(π) = 0
(4.2.9)
Dirixle chegaraviy masalani ko‘rib chiqamiz. ξ
n
(t), n ≥ 1 sonlar bu chegaraviy
masalaning xos qiymatlaridan iborat ekanligi ma’lum, ularga mos keluvchi nor-
mallangan xos funksiyalarni y
n
= y
n
(x, t) orqali belgilaymiz. U holda ushbu
L(t)y
n
= ξ
n
(t)y
n
,
(L(t)y
n
, y
n
) = ξ
n
(t),
(L(t)y
n
, y
n
)
•
= ˙ξ
n
(t), ((L(t)y
n
)
•
, y
n
) + (L(t)y
n
, ˙y
n
(t)) = ˙ξ
n
(t)
tengliklarning bajarilishini tekshirish qiyinchilik tug‘dirmaydi. Quyidagi tenglik-
dan
(L(t)y
n
)
•
= (−y
00
n
(x, t) + q(x + t)y
n
(x, t))
•
= − ˙y
00
n
+ q(x + t)y
n
+ q(x + t) ˙y
n
=
= L ˙y
n
+ q
0
(x + t)y
n
ushbu
˙ξ
n
(t) = (L(t) ˙y
n
, y
n
) + (q
0
(x + t)y
n
, y
n
) + (L(t)y
n
, ˙y
n
)
(4.2.10)
ayniyat kelib chiqadi. L(t) operatorning simmetrikligini ishlatib (4.2.10) tenglikni
quyidagicha yozamiz:
˙ξ
n
(t) = ( ˙y
n
, L(t)y
n
) + (q
0
(x + t)y
n
, y
n
) + (L(t)y
n
, ˙y
n
)
(4.2.11)
Bunda, ξ
n
(t) lar L(t) operatorning xos qiymatlari ekanligini e’tiborga olsak,
˙ξ
n
(t) = ξ
n
(t)( ˙y
n
, y
n
) + (q
0
(x + t)y
n
, y
n
) + ξ
n
(t)(y
n
, ˙y
n
)
(4.2.12)
hosil bo‘ladi. (y
n
, y
n
) = 1 tenglikdan esa ( ˙y
n
, y
n
) = 0 kelib chiqadi. Bunga ko‘ra
(4.2.12) tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
˙ξ
n
(t) = (q
0
(x + t)y
n
, y
n
).
(4.2.13)
L
2
(0, π) fazodagi skalyar ko‘paytmaning ta’rifidan foydalanib, (4.2.13) tenglikni
ushbu
˙ξ
n
(t) =
π
Z
0
y
2
n
(x, t)q
0
(x + t)dx
(4.2.14)
ko‘rinishda yozamiz. Oxirgi tenglikning o‘ng tomonini bo‘laklab integrallaymiz:
˙ξ
n
(t) =
π
Z
0
y
2
n
(x, t)d(q(x + t)) = y
2
n
(x, t)q(x + t)
¯
¯
x=π
x=0
187

−2
π
Z
0
y
n
(x, t)y
0
n
(x, t)q(x + t)dt = −2
π
Z
0
y
0
n
(x, t)[q(x + t)y
n
]dx.
(4.2.15)
Ushbu y
n
= y
n
(x, t) funksiya (4.2.9) chegaraviy masalaning xos funksiyasi
bo‘lgani uchun
−y
00
n
+ q(x + t)y
n
= ξ
n
(t)y
n
,
ya’ni
q(x + t)y
n
= y
00
n
+ ξ
n
(t)y
n
(4.2.16)
bo‘ladi. Bu ifodani (4.2.15) tenglikga qo‘ysak, quyidagi
˙ξ
n
(t) = −2
π
Z
0
y
0
n
[y
00
n
+ ξ
n
(t)y
n
]dx = −2
π
Z
0
y
0
n
· y
00
n
dx − 2ξ
n
(t)
π
Z
0
y
0
n
y
n
dx =
= −
π
Z
0
(y
0
n
2
)
0
dx−ξ
n
(t)
π
Z
0
(y
2
n
)
0
dx = = y
0
n
2
(0, t)−y
0
n
2
(π, t) =
1
α
2
n
(t)
s
02
(0, ξ
n
(t),t)−
−
1
α
n
(t)
s
02
(π, ξ
n
(t), t) =
1 − s
02
(π, ξ
n
(t), t)
α
n
(t)
.
(4.2.17)
munosabat hosil bo‘ladi. Bu yerda
y
n
(x, t) =
1
α
n
(t)
s(x, ξ
n
(t), t)
tenglikdan foydalanildi. O‘z navbatida α
n
(t)- normallovchi o‘zgarmaslar uchun
α
2
n
(t) =
π
Z
0
s
2
(x, ξ
n
(t),t)dx = ˙s
0
(π, ξ
n
(t), t)
∂ s(π, λ, t)
∂λ
¯
¯
¯
¯
λ=ξ
n
(t)
(4.2.18)
formula o‘rinli. Bu formulani (4.2.17) tenglikka qo‘ysak
˙ξ
n
(t) =
1
s
0
(π, ξ
n
(t),t)
− s
0
(π, ξ
n
(t), t)
s
λ
(π, ξ
n
(t), t)
(4.2.19)
ifoda hosil bo‘ladi.
Ushbu
∆(ξ
n
(t)) = s
0
(π, t, ξ
n
(t)) +
1
s
0
(π, t, ξ
n
(t))
,
∆
2
(ξ
n
(t)) − 4 =
·
s
0
(π, ξ
n
(t),t) −
1
s
0
(π, ξ
n
(t), t)
¸
2
,
188

tengliklarga asosan
s
0
(π, t, ξ
n
(t)) −
1
s
0
(π, t, ξ
n
(t))
= σ
n
(t)
p
∆
2
(ξ
n
(t)) − 4
(4.2.20)
topamiz. Bu yerda
σ
n
(t) = sign
½
s
0
(π, ξ
n
(t), t) −
1
s
0
(π, ξ
n
(t), t)
¾
.
(4.2.21)
Agar ushbu
s(π, λ, t) = π
∞
Y
k=1
ξ
k
(t) − λ
k
2
∂s(π, λ, t)
∂λ
= π
∞
X
m=1
(−
1
m
2
)
∞
Y
k=1
k6=m
ξ
k
(t) − λ
k
2
∂s(π, ξ
k
(t), t)
∂λ
= −
π
n
2
∞
Y
k=1
k6=n
ξ
k
(t) − ξ
n
(t)
k
2
yoyilmalardan foydalansak,
˙ξ
n
(t) =
σ
n
(t)
p
∆
2
(ξ
n
(t)) − 4
π
n
2
∞
Q
k=1
k6=n
ξ
k
(t)−ξ
n
(t)
k
2
(4.2.22)
kelib chiqadi. Quyidagi
∆
2
(λ) − 4 = 4π
2
(λ
0
− λ)
∞
Y
k=1
(λ
2k−1
− λ)(λ
2k
− λ)
k
4
(4.2.23)
formuladan foydalanib, (4.2.23) tenglikni ushbu
˙ξ
n
(t) =
2n
2
σ
n
(t)
s
(λ
0
− ξ
n
(t))
∞
Q
k=1
(λ
2k−1
−ξ
n
(t))(λ
2k
−ξ
n
(t))
k
4
∞
Q
k=1
k6=n
ξ
k
(t)−ξ
n
(t)
k
2
,
(4.2.24)
ko‘rinishda yozish mumkin.
Keyinchalik
sign



∞
Y
k=1
k6=n
ξ
k
(t) − ξ
n
(t)
k
2



= (−1)
n−1
189

tenglikni qo‘llab (4.2.24) tenglamani qulay shaklga keltiramiz:
˙ξ
n
(t) = 2(−1)
n−1
σ
n
(t)
p
(ξ
n
(t) − λ
2n−1
)(λ
2n
− ξ
n
(t))×
×
v
u
u
t(ξ
n
(t) − λ
0
)
∞
Y
k=1
k6=n
(λ
2k−1
− ξ
n
(t))(λ
2k
− ξ
n
(t))
(ξ
k
(t) − ξ
n
(t))
2
, n = 1, 2 , ...
(4.2.25)
Teskari masalani yechish jarayonida Dubrovin-Trubovis tenglamalar sistemasi
ushbu
ξ
n
(t)|
t=0
= ξ
n
(0) , n = 1, 2, 3, ...
σ
n
(t)|
t=0
= σ
n
(0) , n = 1, 2, 3, ...
(4.2.26)
boshlang‘ich shartlar bilan birga qaraladi. Bu yerda
ξ
n
(0) = ξ
n
∈ [λ
2n−1
, λ
2n
] , σ
n
(0) = σ
n
= ±1 , n = 1, 2, 3, ...
berilgan (ma’lum) spektral parametrlar. Shu bilan birga σ
n
(t) = ±1 ishoraning
qiymati, ξ
n
(t) o‘z lakunasining chetiga kelganida qarama-qarshisiga o‘zgartiriladi.
3-§. Dubrovin-Trubovis differentsial tenglamalar sistemasi uchun
qo‘yilgan Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi
Oldingi paragrafda keltirib chiqarilgan ushbu
˙ξ
n
= 2(−1)
n−1
σ
n
(t)
p
(ξ
n
− λ
2n−1
)(λ
2n
− ξ
n
)×
×
v
u
u
t(ξ
n
− λ
0
)
∞
Y
k=1
k6=n
(λ
2k−1
− ξ
n
)(λ
2k
− ξ
n
)
(ξ
k
− ξ
n
)
2
, n = 1, 2, ...
(4.3.1)
Dubrovin-Trubovis sistemasini quyidagi boshlang‘ich shartlar bilan birga ko‘rib
chiqamiz:
ξ
n
(t)|
t=0
= ξ
0
n
, σ
n
(t)|
t=0
= σ
0
n
, n = 1, 2, ... .
(4.3.2)
Bu yerda ξ
0
n
∈ [λ
2n−1
, λ
2n
] va σ
0
n
= ±1, n = 1, 2, ... berilgan spektral parametr-
lar. Shu bilan birga, σ
n
(t) = ±1 ishoraning qiymati ξ
n
(t) spektral parametr o‘z
lakunasining chetiga kelganida qarama-qarshisiga o‘zgaradi.
Bu paragrafda Dubrovin-Trubovis sistemasi uchun qo‘yilgan (4.3.1)+(4.3.2)
Koshi masalasi yechimining mavjudligini va yagonaligini tekshirish bilan
shug‘ullanamiz. Buning uchun avvalo, (4.3.1) tenglamalardagi σ
n
(t) = ±1
o‘zgaruvchan ishoralardan, shu bilan birga o‘zgarmas yechimlardan qutilish
maqsadida ushbu
ξ
n
(t) = λ
2n−1
+ (λ
2n
− λ
2n−1
) sin
2
x
n
(t), n = 1, 2, ...
(4.3.3)
190

almashtirishni bajaramiz. Bunga ko‘ra ushbu
˙ξ
n
(t) = (λ
2n
− λ
2n−1
) sin 2x
n
(t) · ˙x
n
(t),
ξ
n
(t) − λ
2n−1
= (λ
2n
− λ
2n−1
) sin
2
x
n
(t),
λ
2n
− ξ
n
(t) = (λ
2n
− λ
2n−1
) cos
2
x
n
(t),
p
(ξ
n
(t) − λ
2n−1
)(