Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

γ
k
= λ
2k
− λ
2k−1
.
Isbot. Zaririyligi. Faraz qilaylik, q(x) ∈ ˜
W
n
2
[0, π] haqiqiy funksiya berilgan
bo‘lsin. U holda (3.1.1), (3.1.2) davriy va (3.1.1), (3.1.3) yarimdavriy chegaraviy
masalalarning xos qiymatlari uchun (3.4.35) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bundan foy-
dalanib, quyidagi
p
λ
2k
−
p
λ
2k−1
=
2|e
n
(2k)|
(2k)
n+1
+
β
k
k
n+2
,
p
λ
2k
+
p
λ
2k−1
= 2k + O
µ
1
k
¶
, β
k
= γ
+
k
− γ
−
k
tengliklarni topamiz. Oxirgi formulalardan foydalanib k – lakunaning uzunligi
uchun ushbu
k
n
γ
k
=
1
2
n−1
|e
n
(2k)| +
β
k
k
munosabatni hosil qilamiz. Bu tenglikning har ikkala tomonini kvadratga ko‘tarib,
so‘ngra quyidagi
∞
X
k=1
|e
n
(2k)|
2
< ∞,
∞
X
k=1
β
2
k
< ∞
qatorlarning yaqinlashuvchiligidan foydalansak va k
−1
≤ 1, k ∈ N tengsizlikn-
ing bajarilishini inobatga olsak, (3.4.40) qatorning yaqinlashishiga ishonch hosil
qilamiz.
170

Yetarliligi. Teskarisini faraz qilamiz. Aytaylik, q(x) ∈ ˜
W
m
2
[0, π] bo‘lib, q(x) /
∈
˜
W
m+1
2
[0, π] bo‘lsin. Bunda m + 1 ≤ n. U holda (3.4.38) va (3.4.39) tengliklar
o‘rinli bo‘ladi. Bu ikkala tengliklardan foydalanib k – lakunaning uzunligi uchun
ushbu
k
m+1
γ
k
=
1
2
m
(2k|e
m
(2k)|) + β
k
formulani keltirib chiqaramiz. Oxirgi tenglikdan
2k|e
m
(2k)| = 2
m
(k
m+1
γ
k
+ ˜
β
k
),
˜
β
k
= −β
k
(3.4.41)
bo‘lishini topamiz. Yuqoridagi (3.4.40) shartdan va k
−2
≤ 1, k ∈ N tengsizlikdan
quyidagi
∞
X
k=1
k
2(m+1)
γ
2
k
=
∞
X
k=1
k
2n
γ
2
k
k
−2[n−(m+1)]
≤
∞
X
k=1
k
2n
γ
2
k
< ∞
qatorning yaqinlashishi kelib chiqadi. Bundan va (3.4.41) tenglikdan foydalanib,
ushbu
∞
X
k=1
(2k|e
m
(2k)|)
2
< ∞
qatorning yaqinlashuvchiligini ko‘rsatish mumkin. Bu esa (q
(m)
(x))
0
= q
(m+1)
(x)
hosilaning mavjudligini va
π
Z
0
¯
¯
¯q
(m+1)
(x)
¯
¯
¯
2
dx =
∞
X
k=1
(2k|e
m
(2k)|)
2
tenglikning bajarilishini ko‘rsatadi. Chunki e
m
(2k) funksiya q
(m)
(x) funksiyaning
e
2ikx
ortogonal sistema bo‘yicha tuzilgan Furye koeffitsiyentini bildiradi. Shuning
uchun q(x) ∈ ˜
W
m+1
2
[0, π] bo‘ladi. Bu esa yuqoridagi qilgan farazimizga zid keladi.
Demak, q(x) ∈ ˜
W
n
2
[0, π] bo‘lar ekan.
5-§. Xill tenglamasining potensiali cheksiz differensiallanuvchi
funksiya bo‘lgan hol
Ushbu
−y
00
+ q(x)y = λy,
x ∈ R
(3.5.1)
Xill tenglamasini qaraylik. Bunda q(x) - haqiqiy π davrli cheksiz differensiallanu-
vchi funksiya, ya’ni
q(x + π) = q(x) ∈ C
∞
(R).
(3.5.2)
171

(3.5.1) tenglamaning yechimini
y(x, λ) = exp



iµx +
x
Z
0
σ(t, µ)dt



, µ =
√
λ
(3.5.3)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu ifodani (3.5.1) tenglamaga qo‘yib, σ(x, µ) funksiyaga
nisbatan
σ
0
+ 2iµσ + σ
2
− q(x) = 0
(3.5.4)
nochiziqli birinchi tartibli differensial tenglamani keltirib chiqaramiz.
Aytaylik, σ(x, µ) funksiya quyidagi
σ(x, µ) =
∞
X
k=1
σ
k
(x)
(2iµ)
k
(3.5.5)
darajali qator ko‘rinishida ifodalansin. U holda bu yoyilmani (3.5.4) tenglamaga
qo‘yib, σ
k
(x) koeffitsiyentlar uchun
σ
1
(x) = q(x), σ
2
(x) = −
1
2
q
0
(x),
σ
m
(x) = −σ
0
m−1
(x) −
m−2
X
j=1
σ
m−j−1
(x)σ
j
(x), m = 3, 4, ...
(3.5.6)
rekurrent bog‘lanishlarni topamiz. Bu formulalardan, xususan
σ
3
(x) = q
00
(x) − q
2
(x), σ
4
(x) = q
000
(x) + 4q(x)q
0
(x),
σ
5
(x) = q
(IV )
(x) − 5q
02
(x) − 6q(x)q
00
(x) + 2q
3
(x),. . .
(3.5.7)
ifodalarni aniqlashimiz mumkin.
(3.5.5)-(3.5.6) formulalardan ko‘rinadiki, agar q(x) haqiqiy funksiya bo‘lsa,
u holda σ
k
(x) koeffitsiyentlarning barchasi haqiqiy bo‘ladi. Agar q(x) silliq
davriy funksiya bo‘lsa, u holda σ
k
(x) koeffitsiyentlarning barchasi davriy funksiya
bo‘ladi. Demak, (3.5.2) shart bajarilganda
σ
j
(x + π) = σ
j
(x), j ≥ 1
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Quyidagi
y
1
(x, λ) = exp



iµx +
x
Z
0
σ(t, µ)dt



,
(3.5.8)
y
2
(x, λ) = exp



−iµx +
x
Z
0
σ(t, −µ)dt



, µ =
√
λ
(3.5.9)
172

funksiyalar λ 6= 0 bo‘lganda (3.5.1) tenglamaning chiziqli erkli yechimlaridan
iborat bo‘ladi. Ushbu
√
λ ildizning qiymatini quyidagicha aniqlaymiz: Agar λ < 0
bo‘lsa, u holda
√
λ = µ = iτ , τ > 0. Qolgan λ larda
√
λ ildizning qiymati analitik
davom qildirish orqali aniqlanadi.
Endi, (3.5.1) tenglamaga qo‘yilgan
y(0) = 0, y(π) = 0
(3.5.10)
Dirixle chegaraviy masalasining λ = ξ
k
ξ
1
< ξ
2
< ξ
3
< ... < ξ
n
< ...
xos qiymatlarini o‘rganish bilan shug‘ullanamiz.
(3.5.1) tenglamaning (3.5.7) va (3.5.8) ko‘rinishdagi yechimlari uchun
y
1
(0, λ) = y
2
(0, λ) = 1
munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. Bundan ushbu
z(x, λ) = y
1
(x, λ) − y
2
(x, λ)
funksiya (3.5.1) tenglamani va (3.5.9) chegaraviy shartlarning birinchisini, ya’ni
z(0) = 0 shartni qanoatlantirishi kelib chiqadi. Shuning uchun z(x, λ) =
y
1
(x, λ) − y
2
(x, λ) funksiyani (3.5.9) chegaraviy shartlarning ikkinchisiga, ya’ni
z(π) = 0 shartga qo‘yib, Dirixle chegaraviy masalasining
y
1
(π, λ) − y
2
(π, λ) = 0
(3.5.11)
xarakteristik tenglamasini keltirib chiqaramiz. (3.5.7)-(3.5.8) tengliklardan foy-
dalanib, (3.5.10) tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
exp



2iπµ +
π
Z
0
[σ(t, µ) − σ(t, −µ)]dt



= 1.
(3.5.12)
Bu tenglamaga (3.5.1), (3.5.9) Dirixle chegaraviy masalasining µ = µ
k
, µ
k
=
√
ξ
k
,
ξ
k
= λ
k
xos qiymatlarini qo‘yib,
µ
k
− k +
1
2iπ
π
Z
0
[σ(t, µ
k
) − σ(t, −µ
k
)]dt = 0
(3.5.13)
tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi (3.5.4) yoyilmadan foydalanib,
1
2iπ
π
Z
0
[σ(t, µ
k
) − σ(t, −µ
k
)]dt = −
1
π
∞
X
j=0
(−1)
j
a
2j+1
(2µ
k
)
2j+1
(3.5.14)
173

ekanini topamiz. Bu yerda
a
2j+1
=
π
Z
0
σ
2j+1
(x)dx.
(3.5.15)
(3.5.13) tenglikdan foydalanib, (3.5.12) tenglamani
µ
k
= k +
1
π
∞
X
j=0
(−1)
j
a
2j+1
(2µ
k
)
2j+1
(3.5.16)
ko‘rinishda yozib olamiz. Bu tenglikdan, avvalo,
µ
k
= k + ε
k
, ε
k
= O
µ
1
k
¶
(3.5.17)
tenglikni hosil qilamiz. Chunki µ
k
→ ∞. Oxirgi ifodani (3.5.15) tenglikning ikkala
qismiga qo‘yib, ε
k
uchun
ε
k
=
1
π
∞
X
j=0
(−1)
j
a
2j+1
[2(k + ε
k
)]
2j+1
(3.5.17)
ifodani topamiz.
Endi, quyidagi
f (z) =
1
π
∞
X
j=0
(−1)
j
a
2j+1
z
2j+1
yordamchi funksiyani tuzib olamiz. Bu funksiya ushbu
f (0) = 0, f
0
(0) =
a
1
π
6= 0, f (−z) = −f (z)
shartlarni qanoatlantiradi. f (z) funksiyaning aniqlanishidan foydalanib, (3.5.17)
tenglamani
ε
k
= f
µ
1
2k + 2ε
k
¶
shaklda yozish mumkin. Agar y =
1
2k
belgilashni kiritsak, u holda yuqoridagi
funksional tenglama ushbu
ε
k
= f
µ
y
1 + 2yε
k
¶
ko‘rinishni oladi.
Aytaylik, ε(y) funksiya quyidagi
ε(y) = f
µ
y
1 + 2yε(y)
¶
(3.5.18)
174

tenglamaning ε(0) = 0, ε
0
(0) =
a
1
π
6= 0 shartlarni qanoatlantiruvchi analitik
yechimi bo‘lsin. U holda −ε(−y) funksiya ham (3.5.18) tenglamani qanoatlanti-
radi. Analitik yechimning yagonaligidan ε(y) = −ε(−y) bo‘ladi. Bundan
ε(y) =
∞
X
j=0
b
2j+1
y
2j+1
, (|y| < r, ∃r > 0)
munosabat kelib chiqadi. Endi f (z) va ε(y) funksiyalarning ko‘rinishlaridan foy-
dalanib
ε
k
∼
= ε
µ
1
2k
¶
ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun
ε
µ
1
2k
¶
= O
µ
1
k
¶
, ε
k
= O
µ
1
k
¶
tengliklarni e’tiborga olib, quyidagi limitni hisoblaymiz:
lim
k→∞
ε
k
ε((2k)
−1
)
= lim
k→∞
f
³
(2k + 2ε
k
)
−1
´
f
³¡
2k + 2ε
¡
1
2k
¢¢
−1
´ = lim
k→∞
2k + 2ε
¡
(2k)
−1
¢
2k + 2ε
k
= 1.
Yuqoridagi mulohazalardan foydalansak, µ
k
lar uchun ushbu
µ
k
∼
= k +
∞
X
j=0
c
2j+1
k
2j+1
asimptotik yoyilma kelib chiqadi. Bunda c
2j+1
koeffitsientlar a
2j+1
sonlarga nis-
batan ko‘phaddan iborat.
Shunday qilib, (3.5.1) va (3.5.9) Dirixle chegeraviy masalasining xos qiymatlar
ketma-ketligi uchun
p
ξ
k
∼
= k +
∞
X
j=0
c
2j+1
k
2j+1
(3.5.19)
asimptotik yoyilma o‘rinli ekan.
Endi, ushbu
−y
00
+ q(x + t)y = λy, t ∈ R,
y(0, t) = 0, y(π, t) = 0
(3.5.20)
Dirixle chegaraviy masalasining ξ
j
(t), t ∈ R xos qiymatlari ketma-ketligining
asimptotikasini o‘rganish bilan shug‘ullanamiz. Silliq davriy potensial holida
π
Z
0
σ
2j+1
(x + t)dx =
π
Z
0
σ
2j+1
(x)dx = a
2j+1
175

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Shuning uchun, (3.5.19) asimptotikaning o‘ng tomoni t
parametrga bog‘liq bo‘lmaydi, chunki c
2j+1
lar a
2j+1
larga nisbatan ko‘phad. De-
mak, (3.5.20) siljigan argumentli Xill tenglamasiga qo‘yilgan Dirixle chegaraviy
masalasining xos qiymatlari ketma-ketligi uchun ham
p
ξ
k
(t) ∼
= k +
∞
X
j=0
c
2j+1
k
2j+1
(3.5.21)
asimptotik yoyilma o‘rinli bo‘ladi. Bundan foydalanib, (3.5.1) tenglamaga
qo‘yilgan davriy va yarimdavriy chegaraviy masalalarning xos qiymatlari ketma-
ketligi uchun ham asimptotik formula keltirib chiqarish mumkin.
Agar (3.5.1) tenglamaga qo‘yilgan davriy va yarimdavriy chegaraviy masalan-
ing xos qiymatlari ketma-ketligini λ
j
, j ≥ 0 orqali belgilasak, u holda birinchi
bobning uchinchi paragrafidagi lemma 1.3.5 ga asosan ξ
j
(t) funksiyaning qiy-
matlari [λ
2j−1
, λ
2j
], j ≥ 1 lakunalarni to‘la to‘ldiradi. Shuning uchun, quyidagi
asimptotik formulalar o‘rinli bo‘ladi:
p
λ
2k−1
,
p
λ
2k
∼
= k +
∞
X
j=0
c
2j+1
(k)
2j+1
.
(3.5.22)
Endi, ixtiyoriy n-natural son uchun
£
n−1
2
¤
= p sonni topib olamiz. U holda
(3.5.22) asimptotik yoyilmani quyidagi
k
n
Ã
p
λ
2k
− k −
p
X
j=0
c
2j+1
k
2j+1
!
=
c
2p+3
k
2p−n+3
+
c
2p+5
k
2p−n+5
+ ...
(3.5.23)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda 2p − n + 3 = 2 deb, p =
£
n−1
2
¤
ni topamiz.
Bu holda (3.5.23) tenglikning o‘ng tomoni O
¡
1
k
2
¢
bo‘lgani uchun
p
λ
2k−1
,
p
λ
2k
= k +
p
X
j=0
c
2j+1
k
2j+1
+ O
µ
1
k
n+2
¶
(3.5.24)
asimptotika o‘rinli bo‘ladi. Bu asimptotik formuladan foydalanib, (3.5.1) Xill
tenglamasi lakunalarining uzunliklari γ
k
= λ
2k
− λ
2k−1
uchun, ushbu
γ
k
= (
p
λ
2k
−
p
λ
2k−1
)(
p
λ
2k
+
p
λ
2k−1
) = O
µ
1
k
n+2
¶ µ
2k + O
µ
1
k
n
¶¶
= O
µ
1
k
n+1
¶
asimptotikani topamiz.
Xill tenglamasi lakunalarining uzunliklari γ
k
= λ
2k
− λ
2k−1
ketma-
ketliklarining asimptotikasini o‘rganish jarayonida olingan yuqoridagi natijani
teorema shaklida bayon qilamiz.
176

Teorema 3.5.1. Agar (3.5.1) Xill tenglamasining q(x) ∈ C
∞
(R) potensiali
cheksiz differensiallanuvchi, haqiqiy π davrli funksiya bo‘lsa, u holda
γ
k
≡ λ
2k
− λ
2k−1
= O
µ
1
k
n+1
¶
, ∀n ∈ N
baholash o‘rinli.
Agar yuqoridagi teoremada q(x + π) = q(x) ∈ C
m
(R) bo‘lsa, u holda ushbu
γ
k
≡ λ
2k
− λ
2k−1
= o
µ
1
k
m−1
¶
bahoning o‘rinli bo‘lishi ilk bor 1963–yilda X. Xoxshtadt [339] tomonidan isbot-
langan.
177

IV BOB
Teskari spektral masalalar
1-§. Teskari spektral masala yechimining yagonaligi
Quyidagi
Hy ≡ −y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ R.
(4.1.1)
Xill tenglamasini ko‘rib chiqamiz. Bu yerda q(x) ∈ L
2
[0, π] - haqiqiy, π-davrli
funksiya, λ esa kompleks parametr. c(x, λ) va s(x, λ) funksiyalar orqali (4.1.1)
tenglamaning c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0 va s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1 boshlang‘ich
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaymiz. Bu xolda (4.1.1) tenglama
uchun Veyl-Titchmarsh funksiyasi ushbu
m
±
(λ) =
s
0
(π, λ) − c(π, λ) ∓
p
∆
2
(λ) − 4
2s(π, λ)
(4.1.2)
tenglik bilan aniqlanishi oldingi paragraflardan bizga ma’lum. Bu yerda ∆(λ) ≡
c(π, λ) + s
0
(π, λ). (4.1.1) Xill operatorining spektri σ(H) Liyapunov ∆(λ)
funksiyasi yordamida aniqlanishini ko‘rgan edik:
σ(H) = E = {λ ∈ R
1
: −2 ≤ ∆(λ) ≤ 2 } =
∞
[
n=0
[λ
2n
, λ
2n+1
].
Bunda spektr zonali strukturaga ega bo‘lib, u [λ
2n
, λ
2n+1
], n ≥ 0 kesmalarning
birlashmasidan iborat. Bu kesmalarning chetki nuqtalari −∞ < λ
0
< λ
1
≤ λ
2
<
λ
3
≤ λ
4
< λ
5
≤ λ
6
< ... < λ
2n−1
≤ λ
2n
< ... tengsizliklarni qanoatlantiradi. Ush-
bu (−∞, λ
0
), (λ
2n−1
, λ
2n
), n = 1, 2, ... intervallarga (4.1.1) Xill tenglamasining
(H opetatorning) lakunalari deyiladi, (−∞, λ
0
) intervalga esa trivial lakuna deb
atash qabul qilingan.
Shu bilan bir qatorda