Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

.
Lemma 4.3.1 ga muvofiq,
C
1
|n| ·
¯
¯
¯
¯
∂h
n
(ξ)
∂ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≤ |h
n
(ξ)|
¯
¯
¯
¯
∂h
n
(ξ)
∂ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≤
˜
C
4
n
2
,
ya’ni
¯
¯
¯
¯
∂h
n
(ξ)
∂ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≤
˜
C
5
|n|
(4.3.18)
baholash o‘rinli bo‘ladi. Nihoyat, (4.3.16) va (4.3.18) ga ko‘ra (4.3.15) kelib chiqa-
di.
Lemma 4.3.3. H(x) vektor-funksiya K Banax fazosida Lipshis shartini
qanoatlantiradi, ya’ni shunday L = const > 0 o‘zgarmas son mavjudki, bun-
da ixtiyoriy x, y ∈ K elementlar uchun ushbu
kH(x) − H(y)k ≤ L · kx − yk
(4.3.19)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Chekli orttirmalar haqidagi Lagranj teoremasiga ko‘ra
|H
n
(x) − H
n
(y)| = |h
n
(ξ) − h
n
(η)| ≤
∞
X
k=1
¯
¯
¯
¯
∂ h
n
(θ)
∂ξ
k
¯
¯
¯
¯ · |ξ
k
− η
k
| ≤
≤
∞
X
k=1
Cn · |λ
2k
− λ
2k−1
| ·
¯
¯sin
2
x
k
− sin
2
y
k
¯
¯ ≤
≤ Cn ·
∞
X
k=1
|λ
2k
− λ
2k−1
| · |x
k
− y
k
| = Cnkx − yk.
Bu yerda ξ
k
= λ
2k−1
+ (λ
2k
− λ
2k−1
) sin
2
x
k
va η
k
= λ
2k−1
+ (λ
2k
− λ
2k−1
) sin
2
y
k
tengliklar ishlatildi. Endi kH(x) − H(y)k normani baholaymiz:
kH(x) − H(y)k =
∞
X
n=1
(λ
2n
− λ
2n−1
)|H
n
(x) − H
n
(y)| ≤
≤ Ckx − yk
∞
X
n=1
n(λ
2n
− λ
2n−1
) ≤ Lkx − yk.
Bu yerda
L = C
∞
X
n=1
nγ
n
, γ
n
= λ
2n
− λ
2n−1
196

Bu baholash Lipshis sharti bajarilishini ko‘rsatadi.
Izoh 4.3.1. Yuqoridagi (4.3.1)+(4.3.2) Koshi masalasi yechimining
mavjudligini o‘rganishda q(x)–potensial ushbu q(x) ∈ ˜
W
2
[0, π] shartni qanoat-
lantiradi deb hisoblaymiz. Bu holda
∞
P
n=1
nγ
n
qatorning yaqinlashuvchanligi V.A.
Marchenko teoremasidan kelib chiqadi.
Shunday qilib, (4.3.1)+(4.3.2) Koshi masalasining statsionar bo‘lmagan yechi-
mi t ∈ R
1
ning ixtiyoriy qiymatida mavjud va yagona bo‘ladi.
4-§. Izlar formulasi
Ushbu
−y
00
+ q(x)y = λy,
x ∈ R
(4.4.1)
Xill tenglamasini qaraylik. Bu yerda q(x)- haqiqiy, π davrli cheksiz differensial-
lanuvchi funksiya, ya’ni
q(x + π) = q(x) ∈ C
∞
(R).
(4.4.2)
c(x, λ) va s(x, λ) orqali (4.4.1) tenglamaning c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0 va s(0, λ) =
0, s
0
(0, λ) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaymiz.
U holda Xill tenglamasining ushbu
ψ
j
(x, λ) = c(x, λ) + m
j
(λ)s(x, λ), j = 1, 2
(4.4.3)
ko‘rinishdagi Veyl (Floke) yechimlari mazkur qo‘llanmaning ikkinchi bobida quril-
gan edi. Bunda m
j
(λ), j = 1, 2 Xill tenglamasining Veyl-Titchmarsh funksiyalar-
idan iborat bo‘lib quyidagi
m
j
(λ) =
s
0
(π, λ) − c(π, λ)
2s(π, λ)
∓ i
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ)
, j = 1, 2
(4.4.4)
tengliklar orqali aniqlanar edi. Bu yerda
∆(λ) = c(π, λ) + s
0
(π, λ).
(4.4.5)
Bundan tashqari Xill tenglamasining ushbu
y
j
(x, λ) = exp{∓iµx +
x
Z
0
σ(t, ∓µ)dt}, µ =
√
λ, j = 1, 2
(4.4.6)
ko‘rinishdagi chiziqli erkli (λ 6= 0) yechimlari ham o‘rganilgan edi. Bu formu-
ladagi σ(x, µ) funksiya uchun (3.5.4)-(3.5.6) tengliklarning o‘rinli ekanligi ham
ko‘rsatilgan.
197

Endi, ushbu
ψ
j
(x, λ) = y
j
(x, λ), j = 1, 2
(4.4.7)
tenglikning bajarilishini ko‘rsatamiz. Buning uchun
ψ
2
(x, λ) = exp{iµx +
x
Z
0
σ
2
(t, µ)dt}, µ =
√
λ
(4.4.8)
deb olamiz. Bunda σ
2
(t, µ) funksiya (3.5.4) tenglamani va
iµ + σ
2
(0, µ) = ψ
0
2
(0, λ) = m
2
(λ)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi. Agar (4.4.1) tenglamada q(x) koeffitsiyent
o‘rniga q(x + τ ), τ ∈ R funksiyani qo‘ysak, u holda ushbu
−y
00
+ q(x + τ )y = λy,
x ∈ R, τ ∈ R
(4.4.9)
siljigan argumentli Xill tenglamasining Veyl-Titchmarsh funksiyasi
m
1,2
(τ, λ) =
s
0
(π, λ, t) − c(π, λ, t)
2s(π, λ, t)
∓ i
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ, t)
(4.4.10)
ko‘rinishda bo‘lar edi. Bunda c(x, λ, t) va s(x, λ, t) lar (4.4.9) siljigan argumentli
Xill tenglamasining c(0, λ, t) = 1, c
0
(0, λ, t) = 0, s(0, λ, t) = 0, s
0
(0, λ, t) =
1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari belgilangan. Bu holda,
ψ
j
(x, λ, τ ), j = 1, 2 orqali (4.4.9) tenglamaning Veyl (Floke) yechimlarini bel-
gilaymiz va ψ
2
(x, λ, τ ) ni ushbu
ψ
2
(x, λ, τ ) = exp{iµx +
x
Z
0
σ
2
(t, µ, τ )dt}, µ =
√
λ
(4.4.11)
ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda ham σ
2
(t, µ, τ ) funksiyani quyidagi qatorga
yoyish mumkin:
σ
2
(t, µ, τ ) =
∞
X
k=1
σ
k
(x, τ )
(2iµ)
k
.
(4.4.12)
Chunki m
2
(λ
2
) va m
2
(λ
2
, τ )Veyl-Titchmarsh funksiyalarni µ
−1
ning darajalari
bo‘yicha qatorga yoyish mumkin. (4.4.12) yoyilmaning σ
k
(x, τ ) koeffitsiyentlari
quyidagi
σ
1
(x, τ ) = q(x+τ ), σ
2
(x, τ ) = −q
0
(x+τ ), σ
3
(x, τ ) = q
00
(x+τ )−q
2
(x+τ ), . . .
σ
m
(x, τ ) = −σ
0
m−1
(x, τ ) −
m−2
X
j=1
σ
m−j−1
(x, τ )σ
j
(x, τ ),
(4.4.13)
198

rekurent formulalar orqali aniqlanadi. Shuning uchun
σ
k
(x, τ ) = σ
k
(x + τ ), σ
2
(x, µ, τ ) = σ
2
(x + τ, µ)
(4.4.14)
munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. Bundan foydalanib (4.4.12) tenglikni
σ
2
(x + τ, µ) =
∞
X
k=1
σ
k
(x + τ )
(2iµ)
k
ko‘rinishda yozish mumkin. Oxirgi tenglikda τ = 0 desak
σ
2
(x, µ) =
∞
X
k=1
σ
k
(x)
(2iµ)
k
≡ σ(x, µ)
hosil bo‘ladi. Bundan
ψ
2
(x, λ) = y
2
(x, λ)
kelib chiqadi. Xuddi shunday qilib
ψ
1
(x, λ) = y
1
(x, λ)
tenglikni ham ko‘rsatish mumkin.
Demak, ψ
j
(x, λ), j = 1, 2 uchun ham
ψ
1,2
(x, λ) = exp{∓iµx +
x
Z
0
σ(t, ∓µ)dt},
(4.4.15)
tasvir o‘rinli bo‘lar ekan.
Endi (4.4.1) Xill tenglamasi uchun izlarni hisoblash formulalarini keltirib
chiqarish algoritmi bilan shug‘ullanamiz. Buning uchun avvalo ψ
j
(x, λ) yechim-
larning (4.4.3) va m
j
(λ) - funksiyalarning (4.4.4) ko‘rinishlaridan foydalanib
ψ
0
2
(0, λ) − ψ
0
1
(0, λ) = i
p
4 − ∆
2
(λ)
s(π, λ)
topib olamiz. So‘ngra (4.4.15) dan
ψ
0
2
(0, λ) − ψ
0
1
(0, λ) = 2iµ + σ(0, µ) − σ(0, −µ)
hosil qilamiz. Bu tengliklardan foydalanib ushbu
2iµ + σ(0, µ) − σ(0, −µ) = i
p
4 − ∆
2
(λ)
s(π, λ)
(4.4.16)
ayniyatni topamiz. Oxirgi tenglikning chap qismini (3.5.4) qatordan foydalanib
quyidagi
2iµ + σ(0, µ) − σ(0, −µ) = 2iµ +
∞
P
k=1
[1 − (−1)
k
]
σ
k
(0)
(2iµ)
k
=
= 2iµ + 2
∞
P
j=0
σ
2j+1
(0)
(2iµ)
2j+1
(4.4.17)
199

ko‘rinishda yozib olamiz. (4.4.16) ayniyatning o‘ng tomonini ushbu
s(π, λ) = π
∞
Y
j=1
λ − ξ
j
j
2
,
p
4 − ∆
2
(λ) = 2π
p
λ − λ
0
v
u
u
t
∞
Y
j=1
(λ − λ
2j−1
)(λ − λ
2j
)
j
4
formulalardan foydalanib quyidagi
i
p
4 − ∆
2
(λ)
s(π, λ)
= 2i
√
λ
µ
1 −
λ
0
λ
¶
1
2



∞
Y
j=1
³
1 −
λ
2j−1
λ
´ ³
1 −
λ
2j
λ
´
³
1 −
ξ
j
λ
´
2



1
2
(4.4.18)
shaklda yozib olamiz. (4.4.17) va (4.4.18) tengliklarni (4.4.16) ayniyatga qo‘yib
2iµ + 2
∞
X
j=0
σ
2j+1
(0)
(2iµ)
2j+1
= 2iµ
µ
1 −
λ
0
λ
¶
1
2



∞
Y
j=1
³
1 −
λ
2j−1
λ
´ ³
1 −
λ
2j
λ
´
³
1 −
ξ
j
λ
´
2



1
2
topamiz. Bu tenglikning ikkala tarafini 2iµ ga bo‘lib
1 + 2
∞
X
j=0
σ
2j+1
(0)
(2iµ)
2j+2
=
µ
1 −
λ
0
λ
¶
1
2



∞
Y
j=1
³
1 −
λ
2j−1
λ
´ ³
1 −
λ
2j
λ
´
³
1 −
ξ
j
λ
´
2



1
2
hosil qilamiz. Bunda i
2j+2
= −(−1)
j
, µ
2j+2
= λ
j+1
larni e’tiborga olsak, oxirgi
tenglik
1 −
∞
X
j=0
(−1)
j
σ
2j+1
(0)
2
2j+1
λ
j+1
=
µ
1 −
λ
0
λ
¶
1
2



∞
Y
j=1
³
1 −
λ
2j−1
λ
´ ³
1 −
λ
2j
λ
´
³
1 −
ξ
j
λ
´
2



1
2
ko‘rinishni oladi. Bu tenglikning ikkala tarafini logarifmlab
ln
Ã
1 −
∞
X
j=0
(−1)
j
σ
2j+1
(0)
2
2j+1
λ
j+1
!
=
1
2
ln
µ
1 −
λ
0
λ
¶
+
+
1
2
∞
X
j=1
·
ln
µ
1 −
λ
2j−1
λ
¶
+ ln
µ
1 −
λ
2j
λ
¶
− 2 ln
µ
1 −
ξ
j
λ
¶¸
(4.4.19)
topamiz. Bu yerda ushbu
ln(1 − x) =
∞
X
n=1
1
n
x
n
,
− 1 < x < 1
200

yoyilmani ishlatsak, (4.4.19) tenglik quyidagi ko‘rinishni oladi:
∞
P
n=1
1
n
Ã
∞
P
j=0
(−1)
j σ
2j+1
(0)
2
2j+1
λ
j+1
!
n
=
1
2
∞
P
n=1
1
n
¡
λ
0
λ
¢
n
+
+
1
2
∞
P
j=1
(
∞
P
j=1
1
n
h³
λ
2j−1
λ
´
n
+
³
λ
2j
λ
´
n
− 2
³
ξ
j
λ
´
n
i
)
.
(4.4.20)
Oxirgi ayniyatda λ
−1
va λ
−2
lar oldidagi koeffisiyentlarni mos ravishda ten-
glashtirib (3.5.5) formuladan foydalansak, quyidagi
q(0) = λ
0
+
∞
P
j=1
(λ
2j−1
+ λ
2j
− 2ξ
j
),
−
1
2
q
00
(0) + q
2
(0) = λ
2
0
+
∞
P
j=1
(λ
2
2j−1
+ λ
2
2j
− 2ξ
2
j
)
..........................................................
(4.4.21)
Xill tenglamasining izlarini hisoblash uchun formulalar hosil bo‘ladi.
Siljigan argumentli (4.4.9) Xill tenglamasi holida (4.4.21) izlarni hisoblash
formulalari quyidagi ko‘rinishni oladi:
q(τ ) = λ
0
+
∞
P
j=1
(λ
2j−1
+ λ
2j
− 2ξ
j
(τ )),
−
1
2
q
00
(τ ) + q
2
(τ ) = λ
2
0
+
∞
P
j=1
(λ
2
2j−1
+ λ
2
2j
− 2ξ
2
j
(τ )),
.....................................................................
(4.4.22)
Bunda ξ
j
(τ ) lar (4.4.9) tenglamaga qo‘yilgan Dirixle chegaraviy masalasining xos
qiymatlaridan iborat bo‘lib
λ
2j−1
≤ ξ
j
(τ ) ≤ λ
2j
, j ≥ 1
tengsizlikni qanoatlantiradi.
5-§. Izlar formulasini keltirib chiqarishning yana bir usuli
Ushbu



H(t)y ≡ −y
00
+ t q(x)y = λy
y(0) = y(π)
y
0
(π) = y
0
(π)
(4.5.1)
davriy chegaraviy masalani ko‘rib chiqamiz. Bu yerda q(x) ∈ C
1
[0, π]- haqiqiy π-
davrli funksiya, t ∈ [0 , 1] parametr.
201

Berilgan chegaraviy masalaning xos qiymatlarini
λ
0
(t) , λ
3
(t) , λ
4
(t), λ
7
(t) , λ
8
(t) , ... , λ
4k−1
(t) , λ
4k
(t) , ...
va uning ortonormallangan xos funksiyalarini
y
0
(x, t) , y
3
(x, t) , ... , y
4k−1
(x, t) , y
4k
(x, t) , ...
orqali belgilaymiz. Keyinchalik ushbu
c
0
=
1
π
π
Z
0
q(x)dx.
(4.5.2)
belgilashdan foydalanamiz.
Quyidagi
H(t)y
4k
(x, t) = λ
4k
(t)y
4k
(x, t)
tenglikni ikkala tarafini y
4k
(x, t) ga skalyar ko‘paytirib
λ
4k
(t) = (H(t)y
4k
, y
4k
)
(4.5.3)
hosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tarafini to‘zgaruvchi bo‘yicha differensiallab
˙λ
4k
(t) = (H(t) ˙y
4k
, y
4k
) + (q(x)y
4k
, y
4k
) + (H(t)y
4k
, y
4k
) =
π
Z
0
q(x)y
2
4k
(x, t)dx
(4.5.4)
topamiz. Xuddi shuningdek ˙λ
4k−1
(t) uchun
˙λ
4k−1
(t) =
π
Z
0
q(x)y
2
4k−1
(x, t)dx
(4.5.5)
formulani keltirib chiqarish mumkin.
Agar (4.5.1) chegaraviy masalada t = 0 deb olsak, u holda





−y
00
= λy
y(0) = y(π)
y
0
(0) = y
0
(π)
bo‘ladi. Bu chegaraviy masalaning xos qiymatlari va ortonormallangan xos
funksiyalari quyidagi tengliklardan aniqlanadi:
λ
0
= 0, λ
4n−1
= (2n)
2
, λ
4n
= (2n)
2
, ... n = 1, 2, 3, ...
y
0
(x, 0) =
1
√
π
, y
4n−1
(x, 0) =
r
2
π
cos 2nx, y
4n
(x, 0) =
r
2
π
sin 2nx, n = 1, 2, 3, ....
202

Quyidagi
y
2
0
(x, 0) −
1
π
+
∞
X
n=1
·
y
2
4n−1
(x, 0) + y
2
4n
(x, 0) −
2
π
¸
= 0
(4.5.6)
tenglikning bajarilishi ravshan.
Endi (4.5.4) va (4.5.5) tengliklarni t o‘zgaruvchi bo‘yicha [ 0