Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

s(π, it , λ) funksiya P
n
to‘g‘ri to‘rtburchakda n ta nolga ega ekan, ularni
ξ
1
(it) , ξ
2
(it) , ... , ξ
n
(it) orqali belgilab olamiz. Agar P
n+1
to‘g‘ri to‘rtburchakni
qarasak, u holda s(π, it , λ) = 0 tenglamaning ξ
1
(it) , ξ
2
(it) , ... , ξ
n
(it) , ξ
n+1
(it)
ildizlarini hosil qilamiz. Shunday qilib, yetarli katta n lardan boshlab Reξ
n
(it),
ushbu
µ
n −
1
2
¶
2
< Reξ
n
(it) <
µ
n +
1
2
¶
2
(4.7.12)
tengsizlikni qanoatlantiradi. Agar biz f (λ) va g(λ) funksiyalarni markazi n
2
nuq-
tada joylashgan va radiusi
1
n
2
bo‘lgan B
n
doiralarda qarasak, u holda
sin
√
λπ
√
λ
= 0
tenglama λ
n
= n
2
∈ B
n
- doiraga tegishli bitta ildizga ega bo‘ladi. Bundan
f (λ) + g(λ) = s(π , it , λ) funksiya ham B
n
doirada bitta ildizga ega bo‘lishi
kelib chiqadi. Bu ildiz aynan ξ
n
(it) bo‘lishi ravshan:
¯
¯ξ
n
(it) − n
2
¯
¯ <
1
n
2
.
Demak,
ξ
n
(it) = n
2
+ O(
1
n
2
), n → ∞
(4.7.13)
asimtotik tenglik o‘rinli ekan.
Endi, λ tekislikda joylashgan markazi 2
−1
(λ
2k
− λ
2k−1
) nuqtada, radiusi r
k
=
2
−1
(λ
2k
− λ
2k−1
) + k
−2
ga teng bo‘lgan ochiq D
k
- doiralarni olaylik. Tuzilishiga
ko‘ra D
k
doira [λ
2k−1
, λ
2k
] lakunani saqlaydi va doiralar o‘zaro kesishmaydi, ya’ni
D
j
∩ D
j+1
= ∅, j = 1, 2, 3, .... Ushbu
D =
∞
Y
k=1
D
k
to‘plamni kiritamiz.
Lemma 4.7.1. Yetarlicha katta n lardan boshlab D to‘plamda
|Reh
n
(ξ)| > c · n , c = const,
(4.7.14)
210

tengsizlik bajariladi. Bu yerda
h
n
(ξ) =
v
u
u
t(ξ
n
− λ
0
)
∞
Y
k=n
k=1
(λ
2k
− ξ
n
)(λ
2k−1
− ξ
n
)
(ξ
k
− ξ
n
)
2
.
(4.7.15)
Isbot. Ushbu
P
n
=
∞
Y
k6=n
k=1
(λ
2k
− ξ
n
)(λ
2k−1
− ξ
n
)
(ξ
k
− ξ
n
)
2
.
belgilashni kiritamiz. Avvalo |P
n
| ketma-ketlikni chegaralanganligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun P
n
ni ushbu P
n
=
h
2
n
(ξ)
ξ
n
−λ
0
ko‘rinishda yozib olamiz. So‘ngra
¯
¯h
2
n
(ξ)
¯
¯ =
O(n
2
) va ξ
n
= n
2
+ O(
1
n
2
) baholardan foydalanib |P
n
| = O(1) topamiz. Bu esa
|P
n
| ketma-ketlikni chegaralanganligini ko‘rsatadi.
Endi h
2
n
(ξ) ning haqiqiy qismini ajratib olamiz:
Reh
2
n
(ξ) = Re[(ξ
n
− λ
0
) P
n
] = Re(ξ
n
−λ
0
)ReP
n
−Im(ξ
n
−λ
0
)·ImP
n
. (4.7.16)
Bunda z
1
, z
2
kompleks sonlar ustidagi
z
1
· z
2
= (α
1
+ iβ
1
)(α
2
− iβ
2
) = α
1
α
2
− β
1
β
2
+ i(β
1
α
2
+ α
1
β
2
),
Re{z
1
· z
2
} = α
1
α
2
− β
1
β
2
= Rez
1
· Rez
2
− Imz
1
· Imz
2
amallardan foydalandik.
Yetarlicha katta n dan boshlab D to‘plamda ReP
n
ifoda
1
2
dan katta bo‘lishini
isbotlaymiz. Buning uchun ushbu belgilashlardan foydalanamiz:
P
n
=
∞
Y
k=1
k6=n
(1 + P
n,k
) P
n,k
=
λ
2k
λ
2k−1
− ξ
2
k
− ξ
n
(λ
2k
+ λ
2k−1
− 2ξ
k
)
(ξ
k
− ξ
n
)
2
.
Keyinchalik
lim
n→∞
P
n
= 1
ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun |P
n
− 1| ayirmani baholaymiz:
|P
n
− 1| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∞
Y
k=1
k6=n
(1 + P
n,k
) − 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤ exp



X
k6=n
|P
n,k
|



− 1 ≤
≤ exp



const
∞
X
k=1
k6=n
1
k
2
− n
2



− 1 → 0 , n → ∞.
(4.7.17)
211

Haqiqatan ham, ushbu
∞
X
k=1
k6=n
1
|k
2
− n
2
|
= −
n−1
X
k=1
1
k
2
− n
2
+
∞
X
k=n+1
1
k
2
− n
2
= A
belgilashni olib quyidagi f (x) funksiyani tuzib olsak,
f (x) =
1
|x
2
− n
2
|
,
u holda
A =
−1
(n − 1)
2
− n
2
+
1
(n + 1)
2
− n
2
+
n−2
X
k=1
1
|k
2
− n
2
|
+
∞
X
k=n+2
1
k
2
− n
2
≤
≤
−1
(n − 1)
2
+ n
2
+
1
(n + 1)
2
− n
2
+
n−1
Z
1
−1
x
2
− n
2
dx +
∞
Z
n+1
1
x
2
− n
2
dx =
=
1
2n − 1
+
1
2n + 1
−
1
2n
ln
¯
¯
¯
¯
x − n
x + n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x=n−1
x=1
+
1
2n
ln
x − n
x + n
¯
¯
¯
¯
∞
x=n−1
=
=
1
2n − 1
+
1
2n + 1
−
1
2n
ln
1
2n − 1
+
1
2n
ln
n − 1
n + 1
+0−
1
2n
ln
1
2n + 1
= o(1), n → ∞
bo‘ladi. Demak (4.7.17) tengsizlikning o‘ng tomoni n → ∞ da nolga intilar ekan,
ya’ni P
n
→ 1 , n → ∞. Xususan
ReP
n
>
1
2
, ImP
n
→ 0, n → ∞
bo‘ladi.
(4.7.16) tenglikdan
Reh
2
n
(ξ) ≥ Re(ξ
n
− λ
0
) · ReP
n
bahoni hosil qilamiz. Bundan
Reh
2
n
(ξ) ≥ c
1
n
2
, c
1
= const.
kelib chiqadi.
Endi ushbu
−s
00
+ q(x + it)s = ξ
n
(it)s
tenglamadan foydalanib, ξ
n
(it) funksiyaning analitikligini ko‘rsatamiz. Buning
uchun yuqoridagi differensial tenglamani s ga skalyar ko‘paytirib
ξ
n
(it) =
π
R
0
[−s
00
+ q(x + it)s] · sdx
π
R
0
| s |
2
dx
212

topamiz. q(x + it)- analitik funksiya bo‘lgani uchun, s- yechim ham analitik
bo‘ladi. Bundan va yuqoridagi tenglikdan ξ
n
(it) ning analitikligi kelib chiqadi.
Ushbu ξ
n
(t) = λ
2n−1
+ (λ
2n
− λ
2n−1
) sin
2
x
n
(t) almashtirishga va
x
n
(0) = arcsin
s
ξ
n
(0) − λ
2n−1
λ
2n
− λ
2n−1
, n = 1, 2, 3, ...
boshlang‘ch shartlarga ko‘ra x
n
(t) ham analitik funksiya bo‘ladi.
Dubrovin- Trubovis tenglamalar sistemasiga ko‘ra
x
n
(t) = x
n
(0) +
t
Z
0
H
n
(x
1
(τ ) , x
2
(τ ) , ... ) dτ
(4.7.18)
ayniyat t ning kichik kompleks qiymatlarida bajariladi. Xususan t = iτ , τ ∈ R
1
,
|τ |- yetarli kichik bo‘lganda
x
n
(iτ ) = x
n
(0) +
iτ
Z
0
H
n
(x
1
(y) , x
2
(y) , ... ) dy
(4.7.19)
o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikda y = iω almashtirish bajarsak,
x
n
(iτ ) = x
n
(0) +
τ
Z
0
iH
n
(x
1
(iω) , x
2
(iω) , ... ) diω
(4.7.20)
hosil bo‘ladi. Bundan
|Imx
n
(iτ )| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
τ
Z
0
ReH
n
(x
1
(iω) , x
2
(iω) , ... ) dω
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= |τ ReH(x(iω))| > n
(4.7.21)
topamiz. Bu yerda H
n
=
1
2
σ
n
(0)h
n
.
Ushbu
o(1) = |ξ
n
(iτ ) − λ
2n−1
| = (λ
2n
− λ
2n−1
)
¯
¯sin
2
x
n
(iτ )
¯
¯ ≥
≥ (λ
2n
− λ
2n−1
)sh
2
(Imx
n
(iτ )) ≥ (λ
2n
− λ
2n−1
)sh
2
(c · n).
(4.7.22)
tengsizlikdan (λ
2n
− λ
2n−1
) = γ
n
ketma-ketlikning eksponensial ravishda nolga
intilishi kelib chiqadi. Teorema zaruriyligi isbot bo‘ldi.
Isbot (Etarliligi) Quyidagi
ξ
n
(t) = λ
2n−1
+ (λ
2n
− λ
2n−1
) sin
2
z
n
(t),
(4.7.23)
z
n
= x
n
+ iy
n
, i =
√
−1 , x = (x
1
, x
2
, ... ), y = (y
1
, y
2
, ...),
213

x ∈ K =
(
x = (x
1
, x
2
, ... ) : kxk =
∞
X
n=1
γ
n
|x
n
| < ∞
)
,
funksional ketma-ketlikni tuzib olamiz.
Dastlab |y
n
| <
b
4
n tengsizlik bajarilsa, u holda ξ
n
∈ D
n
- markazi
1
2
(λ
2k
−
λ
2k−1
) nuqtada, radiusi r
k
=
1
2
(λ
2k
− λ
2k−1
) +
1
k
2
ga teng doirada yotishini
ko‘rsatamiz.
Haqiqatan ham
¯
¯
¯
¯
λ
2n
− λ
2n−1
2
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ =
¯
¯
¯
¯
λ
2n
− λ
2n−1
2
− (λ
2n
− λ
2n−1
) sin
2
z
n
¯
¯
¯
¯ =
= (λ
2n
− λ
2n−1
) ·
1
2
|cos 2z
n
(t)| ≤ ae
−b n
·
1
2
e
2|y
n
|
≤
a
2
e
−
b
2
n
< r
n
.
(4.7.23) almashtirish natijasida (4.3.1) Dubrovin–Trubovis differensial
tenglamalar sistemasi quyidagi ko‘rinishga keladi:
d z
n
(t)
dt
= H
n
(z
1
, z
2
, ... ), n ≥ 1,
(4.7.24)
z
n
(0) = x
n
(0) arcsin
s
ξ
n
(0) − λ
2n−1
λ
2n
− λ
2n−1
, n = 1, 2, 3, ...
Bu yerda
H
n
(t) =
1
2
σ
n
(t)h
n
(ξ),
h
n
(ξ) =
v
u
u
t(ξ
n
(t) − λ
0
) ·
∞
Y
k=1
k6=n
(λ
2k−1
− ξ
n
(t))(λ
2k
− ξ
n
(t))
(ξ
k
(t) − ξ
n
(t))
2
..
(4.4.25)
h
n
(ξ) = O(n), n → ∞,
∂ h
n
(ξ)
∂ ξ
k
= O(1), n → ∞.
Ushbu
F =
½
z = (z
1
, z
2
, ... ) : z = x + iy , x ∈ K, |y
n
| ≤
b
4
n, n = 1, 2, 3 ...
¾
to‘plamni kiritamiz.
Lemma 4.3.1 va lemma 4.3.2 lardan foydalanib H(z) = (H
1
(z), H
2
(z), ... )
vektor-funksiya F to‘plamda Lipshis shartini qanoatlantirishini ko‘rsatish
mumkin. Bundan (4.7.24) Koshi masalasining yagona yechimga egaligi kelib
chiqadi.
Quyidagi vektor-funksiyalar ketma-ketligini tekshiramiz:
z
(0)
n
(t) ≡ x
n
(0) = arcsin
s
ξ
n
(0) − λ
2n−1
λ
2n
− λ
2n−1
, n ≥ 1
(4.7.26)
214

z
(m+1)
n
(t) ≡ x
n
(0) +
t
Z
0
H
n
(z
(m)
1
(s), z
(m)
2
(s) , ... )ds , m = 0, 1, 2, 3, ... .
(4.7.27)
Bu yerda t kompleks qiymat qabul qiladi. Oxirgi tenglikda ushbu
¯
¯
¯z
(m+1)
n
(t)
¯
¯
¯ =
¯
¯
¯x
(m+1)
n
(t) + iy
(m+1)
n
(t)
¯
¯
¯ ≥
¯
¯
¯y
(m+1)
n
(t)
¯
¯
¯
(4.7.28)
munosabatlardan foydalansak, quyidagi baho kelib chiqadi:
¯
¯
¯y
(m+1)
n
(t)
¯
¯
¯ ≤
¯
¯
¯z
(m+1)
n
(t)
¯
¯
¯ =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
n
(0) +
t
Z
0
H
n
(z
(m)
1
(s), ... )ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤ c · | t| · n (4.7.29)
Bu tengsizlikda, t- o‘zgaruvchi, |t| ≤
b
4c
shartni qanoatlantirsa, undan
¯
¯
¯y
(m+1)
n
(t)
¯
¯
¯ ≤
b
4
n , m = 0, 1, 2, 3, ...
(4.7.30)
kelib chiqadi. Demak | t| ≤
b
4c
bo‘lganda z
(m)
(t)- vektor-funksiya F to‘plamga
tegishli bo‘lar ekan. Endi z
(m)
(t)- vektor-funksiyalar ketma-ketligining ushbu
| t| ≤
b
4c
doirada tekis yaqinlashishini ko‘rsatish mumkin. z
(m)
(t), m ≥ 0
vektor-funksiya (4.7.26) formula yordamida aniqlanishiga ko‘ra qaralayotgan
| t| ≤
b
4c
doirada golomorf funksiya bo‘ladi. Veyershtrass teoremasiga ko‘ra
z(t) = lim
m→∞
z
(m)
(t) limitik funksiyaning | t| ≤
b
4c
doirada golomorfligi kelib chiqa-
di. Bundan quyidagi
ξ
n
(t) = λ
2n−1
+ (λ
2n
− λ
2n−1
) sin
2
z
n
(t), n = 1, 2, ...
funksiyalarning | t| ≤
b
4c
doirada golomorfligi kelib chiqadi. O‘z navbatida ushbu
˜
q(t) = λ
0
+
∞
X
k=1
(λ
2k−1
+ λ
2k
− 2ξ
k
(t))
(4.7.31)
qatorning tekis yaqinlashuvchanligidan, uning ˜
q(t)- yig‘indisining golomorfligiga
ishonch hosil qilamiz. Haqiqiy t- larda (4.7.31) qator yig‘indisi va izlar formu-
lasidan q(t) = ˜
q(t) bo‘ladi. Bundan esa q(t)- potensialning t = 0 nuqta atrofida
golomorfligi kelib chiqadi. Agar Xill tenglamasining o‘rniga, ushbu
−y
00
+ q(x + t
0
)y = λy, x ∈ R
1
,t
0
∈ R
1
tenglamani qarasak, u holda q(t + t
0
) potensial t = 0 nuqta atrofida golomorf
bo‘ladi. Shuning uchun q(t)- potensial t
0
nuqtada golomorf bo‘ladi.
Izoh 4.7.1. Xill operatori lakunalari γ
n
= λ
2n
− λ
2n−1
uzunliklarining ek-
sponensial nolga intilishidan, ya’ni (4.7.1) tengsizlikning bajarilishidan quyidagi
γ
n
= O
µ
1
n
k+1
¶
, ∀k ∈ N
215

baho kelib chiqadi. Bundan, esa V.A.Marchenko [186] teoremasiga asoslanib
q(x) ∈ C
∞
(