Yunusaliyeva gulnoza abdumutalib qizining

2-§ Aniqmasliklarni ochish.

Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda , 0⋅∞, ∞-∞, 1^∞,

0⁰, _∞⁰ ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz.


1 . ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, x→0 da f(x)→0 va g(x)→0 bo‘lsa, ^{f (x )} nisbat ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha x_→a da g( x ) f ( x ) nisbatning limitini topishga qaraganda f' ( x ) nisbatning limitini topish g( x ) g' ( x )
oson bo‘ladi. Bu nisbatlar limitlarining teng bo‘lish sharti quyidagi teoremada ifodalangan.
1-teorema. Agar

1. 
   f(x) va g(x) funksiyalar (a-δ;a)∪(a;a+δ), bu erda δ>0, to‘plamda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x uchun g(x)_≠0, g‘(x)≠0;
   
2. 
   lim f ( x ) = lim g( x ) = 0;
   

x→a x→a

3. 
   hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) limf'( x ) =A x_→a g'( x )
   

mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti lim ^{f ( x )} mavjud va x_→a g( x )
lim ^{f ( x )} =lim ^{f'( x )} (2.1) x_→a g( x ) x_→a g'( x )
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Har ikkala funksiyani x=a nuqtada f(a)=0, g(a)=0 deb aniqlasak, natijada ikkinchi shartga ko‘ra lim f(x)=0=f(a), lim g(x)=0=g(a) tengliklar o‘rinli
x→a x→a bo‘lib, f(x) va g(x) funksiyalar x=a nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Avval x>a holni qaraymiz. Berilgan f(x) va g(x) funksiyalar [a;x], bu erda x_δ, kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a
bilan x orasida shunday c nuqta topiladiki, ushbu f ( x )− f ( a ) = f'( c ) tenglik g( x )− g( a ) g'( c )
o‘rinli bo‘ladi. f(a)=g(a)=0 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tenglikdan
^{f ( x )} = ^{f'( c )} (2.2) g( x ) g'( c )
bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, abo‘lganligi sababli, x→a bo‘lganda c→a bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va (2.2) tenglikdan lim ^{f ( x )} =lim ^{f'( x )} =A kelib x_→a g( x ) x_→a g'( x )
chiqadi.
Shunga o‘xshash, x holni ham qaraladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Aniqmak
Agar da va funksiyalar cheksiz kichik miqdorlar ya’ni, bo’lsa, u holda ularning nisbati da ko’rinishdagi aniqmaslik deb ataladi.
Agar da va funnksiyalar cheksiz katta miqdorlar bo’lsa, ya’ni bo’lsa, u holda nisbat da ko’rinishidagi aniqmaslik deyiladi.
Berilgan yoki ko’rinishdagi aniqmaslikning dagi limitini topish shu aniqmaslikni ochish deyiladi.
Lopitalning birinchi qoidasi. va funksiyalar nuqta atrofida aniqlangan, diferensiyallanuvchi va bo’lsin. Bundan tashqari va funksiyalar shartda cheksiz kichik miqdorlar bo’lsin, ya’ni
,
tengliklarbajarilsin. Bu holda, agar mavjud bo’lsa, u holda ham mavjud bo’lib,

tengliko’rinlibo’ladi.
Lopitalning bu qoidalaridan foydalanib, muhim limitlar deb ataluvchi ushbu limitlarni isbotlash qiyin emas.
1. 2. 3.
4.
Lopitalning ikkinchi qoidasi. va funksiyalar nuqta atrofida aniqlangan, differensiyallanuvchi va bo’lsin. Bundan tashqari, va funksyalar shartda cheksiz katta miqdorlar bo’lsin, ya’ni

bo’lsin. Bu holda, agar mavjud bo’lsa, u holda

ham majud bo’ladi va quyidagi tenglik o’rinlibo’ladi:

Lopitalning birinchi yo ikkinchi qoidasidagi nisbat da yana yoki ko’rinishdagi aniqmasliklardan iborat bo’lib, va hosilalar yana Lopitalning birinchi va ikkinchi qoidalari shartlarini qanoatlantirsa, hamda

mavjudbo’lsa, u holda,quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:

Shunday qilib, aniqmaslikni ochish uchun Lopital qoidasini bir necha marta ketma-ket qo’llash mumkin ekan. Buning uchun har gal Lopital qoidasi shartlarining bajarilishini tekshirish kerak bo’ladi.
Lopital qoidasiga teskari tasdiq ham doimo o’rinli bo’lmasligi mumkin. Ya’ni
mavjud, ammo mavjud bo’lmasligi mumkin.
Agar , bo’lsa, ko’paytma da ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi. Bunday aniqmasliklarniochishuchunularni
yoki
ko’rinishdayozib, yoki ko’rinishidagi aniqmaslikka keltiriladi va Lopital qoidasi qo’llaniladi.
Agar , bo’lsa, ifoda da ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi. Bunday ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun deb
belgilaymiz va uning har ikkala tomonini asosga ko’ra logarifim- laymiz. Natijada
ni hosilqilamiz. Bu ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib,uni ochishni yuqorida ko’rib o’tdik.
Agar berilgan va funksiyalar uchun yoki , bo’lsa, u holda ifoda da yoki ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi. Bunday ko’rinishdagi aniqmasliklar yuqorida ko’rinishdagi aniqmasliklar uchun ko’rib o’tilgan usulda ochiladi.
Agar berilgan va funksiyalar uchun , bo’lsa, u holda, ayirma da ko’rinishdagi aniqmaslik deb ataladi. Bunday aniqmasliklarni ochish uchun ularni

ko’rinishda yoziladi. Bunda ikki hol bo’lishi mumkin.