Yunusaliyeva gulnoza abdumutalib qizining

1-hol.
Bu holda,

ifodani da sartli ravishda ko’rinishda deb qarash mumkin va shu sababli

2-hol.
Bu holda, ifoda da ko’rinishdagi aniqmaslik bo’ladi va uni yuqorida ko’rilgan usulda ochish mumkin.
Umumanolganda
Kabi yoziladigan aniqmasliklar mavjud bo’lib, ular Lopital qoidasidan va ba’zi bir qo’shimcha formulalardan foydalanib ochiladi.

3-§. LOPITAL QOIDALARI

Ma`lum shartlarda funksiya limitini hisoblash qoidalari o`rganilgan edi. Ko`p hollarda bunday shartlar bajarilmaganda, ya`ni

da : ni limiti ni topishda funksiyaning hosilalariga asoslangan qoidaga ko`ra hisoblash qulay bo`ladi. Bunday usul bilan funksiya limitini topish Lopital’ qoidalari deyiladi.
1⁰. ko`rinishidagi hollar.
1-teorema. Faraz qilaylik, va funksiyalar da berilgan bo`lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1)

2. 
   hosilalar mavjud;
   
3. 
   
   
4. 
   Ushbu mavjud. U holda bo`ladi.
   

◄ deb olamiz. Unda va funksiyalar uzluksiz bo`lib qoladi. Teoremaning 4-shartiga ko`ra:

bo`ladi.
Endi da Koshi teoremasidan foydalanib topamiz:

Demak,
.
SHuni isbotlash talab qilingan edi. ►
1-misol. Ushbu



munosabat isbotlansin.
◄ funksiyalari uchun da 1-teoremaning barcha shartlari bajariladi:

2)
3)
4)
Demak,
►
2-teorema. Aytaylik, va funksiyalar da berilgan bo`lib, quyidagi shartlarni bajarsin:

da hosilalar mavjud;
da
4) Ushbu

mavjud . U holda

bo`ladi.
◄ deb, deymiz. Unda bo`lib, da . endi va funksiyalarni quyidagicha

aniqlaymiz. Unda
da


bo`lib, 1-teoremaga ko`ra, da

bo`ladi. Keyingi munosabatdan esa

bo`lishi kelib chiqadi ►
2-misol. Ushbu

limitni hisoblang.
◄Agar deyilsa, ular uchun 2-teoremaning barcha shartlari bajariladi, jumladan

bo`lib,

bo`ladi. 2-teoremaga ko`ra

bo`ladi. ►
Quyidagi teoremalar ham yuqorida keltirilgan teoremalarga o`xshash isbotlanadi.
3-teorema. Faraz qilaylik, va funksiyalar da berilgan bo`lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
2) da hosilalar mavjud;
3) da
4) Ushbu mavjud. U holda

bo`ladi.
4-teorema. Faraz qilaylik, va funksiyalar da berilgan bo`lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
2) da hosilalar mavjud;
3) da
4) Ushbu mavjud. U holda bo`ladi.