Задачи, содержание начального курса математики. Основные подходы к построению начального курса математики

Методика работы над заданием:
Моро, 4 класс, 1 часть, с.34, №183 (геометрическое задание)
Задача:
Начерти в тетради луч с началом в точке А. Отметь на нем один за другим несколько равных отрезков длиной 1 см. Отметь на этом луче точки В, С, D, К, которые изображают числа: 3, 6, 8, 11.
- Какие инструменты понадобятся? (линейка)
- Ребята, мы знакомы с понятием луч. Давайте вспомним, что такое луч? (Луч ограничен только с одной стороны и может быть продолжен по прямой, как угодно далеко, только в одну сторону. Этим луч отличается от прямой, которую можно продолжить в обе стороны, и от отрезка, который ограничен с двух сторон.)
- Кто скажет, как мы изображаем луч? Что для этого надо сначала отметить? (Отметить точку, затем провести линию)
- Как проводим линию? (Линию проводим от точки)
- А важно ли в какую сторону движемся от точки? (Нет, да)
- Откуда мы начинаем чертить? Где ставим точку? (Отступаем то края 2 клетки)
- А если начнем чертить влево, сможем ли мы отметить на луче точку, соответствующую 11см? (Нет)
- Почему? Значит, в какую сторону движемся от точки?
- Ребята, какое дано задание? (…)
- Давайте, вспомним, что такое отрезок? (Отрезок - часть прямой, ограниченной двумя точками)
- Откуда мы начнем откладывать отрезки? (С точки А)
- Как?
- Нам надо еще отметить точки В, С, D, К. Каким числам они соответствуют? (3, 6, 8, 11)
- Так как же мы отметим эти точки? (Для этого надо пронумеровать отрезки)
- Откуда начнем нумеровать? С точки А? (Нет, со следующей точки)
- Какому числу соответствует точка А? (Числу 0)
- Какому числу соответствует точка В? С? D? К? (3; 6; 8; 11)
- теперь каждый самостоятельно выполните задание.

Л. Г. ПЕТЕРСОН, (c)Сегодня существует острая необходимость в подготовке условий, обеспечивающих непрерывность индивидуальной образовательной траектории для каждого обучающегося. Вместе с тем, в работах представителей первых двух направлений из системы образования выделяются отдельные ее элементы, что не позволяет дать комплексное решение этой проблемы. Механизмом функциональной связи между звеньями системы образования, по мнению сторонников третьего направления, является процесс обучения, формирующий способности к самоопределению и самореализации. Актуальность и значимость этого подхода, на наш взгляд, определяются тем, что деятельностные целевые требования в соответствии с социальным заказом и Законом РФ "Об образовании" являются в системе образования приоритетными.

В методологии разработана достаточно полная и непротиворечивая система аксиом, описывающих универсум деятельности, в ней определены функциональные связи между элементами, построено их схематическое изображение [4, с. 787 - 791]. Опираясь на эту систему, выделим условия непрерывности системы образования. Для этого определим ключевые параметры и соотнесем их с условиями непрерывности технологического цикла в произвольной системе деятельности, которая задается:
1) целевыми требованиями (что мы хотим достичь);
2) информацией о состоянии исходного продукта (с чего начнем, на чем базируемся);
3) технологией базового процесса (каким способом мы будем это делать);
4) условиями реализации нормы субъектом деятельности и управленцем (как мы организуем процесс);
5) средствами реализации нормы деятельности (с помощью каких средств мы будем достигать цель);
6) средствами контроля соответствия результата деятельности целевым требованиям (как определить, соответствует ли полученный результат поставленным целям);
7) допусками соответствия результата деятельности целевым требованиям (допустимые отклонения).
В системе образования первый параметр задается законодательно; второй - описанием на каждом этапе актуального уровня способностей ученика, достаточного для включения в учебную деятельность; третий - описанием технологии организации процесса обучения; четвертый - описанием условий взаимодействия между учителем и учениками (системой дидактических принципов); пятый - средствами обучения (содержанием, методическим обеспечением и т.д.); шестой - средствами контроля; седьмой - описанием минимального и максимального уровней обучения.
Непрерывность системы деятельности определяется условиями непрерывности ее базового процесса, стабильностью целевых требований, личностной заинтересованностью в их реализации, наличием способа и соответствующих средств достижения поставленных целей. Особое значение для непрерывности системы деятельности имеет используемая технология: именно она обеспечивает функциональную связь между всеми этапами базового процесса, задает требования к средствам и методам реализации, нормы и критерии для средств контроля.
Применяя выделенные выше параметры системы образования, получаем следующие условия ее непрерывности: соответствие целей образования личностным ценностям каждого обучающегося; единство целей для каждого звена в системе образования; наличие технологии, обеспечивающей функциональную связь между всеми этапами процесса обучения в соответствии с поставленными целями; соответствие технологии, средств и методов обучения; соответствие поставленным целям средств контроля.
Для внедрения системы непрерывного образования в практику необходима конкретизация перечисленных выше условий. Поскольку законодательно закрепленные цели образования сегодня отвечают первым двум условиям, то принципиальное значение приобретает выявление структуры организации взаимодействия между учителем и детьми в новой образовательной парадигме. Именно технология обучения и система дидактических принципов определяют требования к отбору содержания и критерии эффективности обучения в соответствии с поставленными целями.
Концептуальной для построения технологии обучения в системе непрерывного образования явилась идея включения ученика в активную познавательную деятельность. Она объединяет все известные теории развивающего обучения. Еще Сократ говорил о том, что научить человека играть на флейте можно лишь если он сам будет на ней играть. Значит, ориентируясь на формирование деятельностных способностей, новая технология должна обеспечивать каждому учащемуся системный тренинг всех видов деятельности (самоопределения, нормотворчества и нормореализации) [5, с. 104]. Самоопределение предполагает соотнесение предложенной нормы деятельности с системой ценностей ("хочу") и актуальным уровнем способностей ("могу"). Нормореализация (исполнительская деятельность) предполагает воспроизведение известной нормы, ее итогом является преобразованный продукт. Нормотворчество (управленческая деятельность) предполагает выработку новой нормы деятельности в случае невыполнимости или отсутствия известной.
Следовательно, технология обучения должна обеспечить систематическое включение обучающихся в процессы самоопределения, нормореализации и нормотворчества и содержать этап рефлексивного анализа ими своей собственной деятельности.
Перечисленным условиям удовлетворяет разработанная в рамках научно-экспериментальной работы Ассоциации "Школа 2000..." на базе Академии повышения квалификации и переподготовки работников образования МО РФ и Департамента образования г. Москвы последовательность деятельностных шагов, которую мы называем технологией деятельностного метода [6; 7].
Шаг 1. Самоопределение. Этот этап процесса обучения предполагает создание условий для осознанного перехода обучающегося из жизнедеятельности в деятельность и обеспечение положительного самоопределения ученика к некоторой норме деятельности.
Шаг 2. Самостоятельная деятельность по известной норме. На этом этапе актуализированная в сознании обучающегося известная норма N переводится в конкретное действие. Формы работы могут быть как индивидуальными, так и коллективными.
Завершение этапа связано с организацией затруднения в индивидуальной деятельности обучаемого по норме N и фиксированием им кризиса этой нормы (прежний способ действий либо неприемлем, либо его использование приводит к большим временным затратам).
Шаг 3. Реконструкция деятельности по известной норме N. Здесь действия соотносятся с известной нормой N, кризис которой зафиксирован учеником. При этом норма фиксируется как вербально, так и знаково. Педагог, организуя этот этап, должен предусмотреть коммуникативное взаимодействие, результатом которого станет фиксирование в языке условий применимости известной нормы.
Шаг 4. Критика известной нормы N. На этом этапе устанавливается отличие условий, вызвавших затруднение, от ранее известных. Отличие фиксируется вербально, и на этой основе определяется цель и формулируется тема урока.
Шаг 5. Построение новой нормы деятельности N1 . На этом этапе в процессе общения выбирается метод построения новой нормы и строится проект деятельности в новой ситуации на основе использования материальных или материализованных моделей. Обсуждаются различные варианты, предложенные учащимися, и выбирается оптимальный вариант, который фиксируется как новая норма деятельности N1 .
Шаг 6. Использование построенной нормы N1 для решения задания, вызвавшего затруднение. В процессе учебной деятельности обучаемый использует построенную норму N1 для решения задания, вызвавшего затруднение, и фиксирует преодоление возникшего ранее затруднения.
Шаг 7. Фиксирование нормы N1 во внешней речи предполагает формирование у обучаемого способности к выполнению действий по норме N1 : он конкретизирует образ новой нормы N1 в типовых условиях, устно проговаривая каждый выполненный шаг.
Шаг 8. Самоконтроль действий по норме N1 На этом этапе происходит интериоризация действий, формируется способность к самоконтролю. Обучаемый самостоятельно выполняет типовые задания, требующие использования нормы N1 проверяет правильность решения, пошагово сравнивая с эталоном, и убеждается, что новый способ действий им освоен. Задача учителя при этом - создать для обучающегося ситуацию успеха.
Шаг 9. Включение нормы N1 в систему знаний. Здесь выявляются границы применимости нового понятия и выполняются задания, в которых использование новой нормы N1 предусматривается как промежуточный этап.
Шаг 10. Тренировочные действия по ранее изученным нормам предполагают выполнение заданий, развивающих способность к применению всех изученных норм. Таким образом, происходит автоматизация умственных действий. Организуя этот этап, педагог подбирает задания, имеющие методическую ценность для введения в последующем новых норм деятельности.
Шаг 11. Рефлексивный анализ деятельности на уроке. На этом этапе анализируются: 1) деятельностные шаги, выполненные учеником; 2) используемый при этом понятийный инструментарий.
Шаг 12. Фиксирование достижения цели - соотнесение цели и результатов деятельности на уроке, фиксация степени их соответствия и определение дальнейших целей деятельности.
Предложенная технология носит интегративный характер: в ней объединены не конфликтующие между собой идеи из концепций развивающего обучения ведущих российских педагогов и психологов с позиций преемственности. Действительно, шаги 2 - 10 обеспечивают системное прохождение учащимися всех этапов, выделенных П. Я. Гальпериным как необходимых для глубокого и прочного усвоения знаний. Завершение 2-го шага связано с созданием затруднения в деятельности ("коллизии"), являющегося, по мнению Л. В. Занкова, необходимым условием реализации развивающего обучения. На этапах 2 - 6, 8, 11 - 12 обеспечиваются требования к организации учебной деятельности учащихся, разработанные В. В. Давыдовым. Таким образом, предложенная последовательность деятельностных шагов может использоваться в качестве синтезирующего предиката.
Для успешной реализации технологии базового процесса в любой сфере деятельности необходимо выполнение определенных требований для всех элементов системы. Нами выделены семь условий успешной реализации технологии деятельностного метода, сформулированные в виде следующих дидактических принципов:
деятельности - ученик получает знания не в готовом виде, а добывает их сам;
непрерывности - преемственность между всеми ступенями обучения на уровне технологии, содержания и методики;
целостного представления о мире - формирование у ребенка обобщенного, целостного представления о мире (природе - обществе - самом себе), о роли и месте каждой науки в системе наук;
соблюдения минимального и максимального стандарта - школа обязана предложить ученику содержание образования на максимальном (творческом) уровне и обеспечить его усвоение на уровне социально безопасного минимума;
психологической комфортности - снятие всех стрессообразующих факторов учебного процесса, создание в школе и на уроке доброжелательной атмосферы, ориентированной на реализацию идей педагогики сотрудничества;
вариативности - формирование у учащихся способности к систематическому перебору вариантов и выбору оптимального варианта;
творчества - максимальная ориентация на развитие творческого начала в учебной деятельности школьников.
Представленная система дидактических принципов не отвергает традиционную дидактику, а продолжает и развивает ее. Принципы деятельности, непрерывности и целостного представления о мире обеспечивают передачу детям знаний в соответствии с основными дидактическими требованиями традиционной школы - принципами наглядности, преемственности, доступности, научности, системности, активности, сознательности усвоения знаний и др. С другой стороны, реализация предлагаемой нами системы дидактических принципов обеспечивает введение в практику работы учителей идей К. Д. Ушинского, Л. С. Выготского, А. Н. Леонтьева, П. Я. Гальперина, Л. В. Занкова, В. В. Давыдова, Н. Я. Виленкина о развитии речевого мышления и эмоциональной сферы школьников, поэтапном формировании умственных действий, включении ребенка в самостоятельную учебно-познавательную деятельность, гуманизации и гуманитаризации процесса образования, его непрерывности, обеспечении психологической комфортности во взаимодействии между учителем и учениками, о разноуровневом обучении, развитии и др. Таким образом, предложенная система дидактических принципов также носит интегративный характер.
Мы считаем, что интегративная технология деятельностного метода может использоваться как инвариант, связывающий все периоды обучения и обеспечивающий ее функционарную непрерывность. Наряду с этим, данная технология позволяет выявить механизм развития способностей за счет выделения этапов и условий, в которых этот процесс может успешно осуществляться. При этом обеспечивается возможность построить для каждого обучающегося непрерывную образовательную траекторию, разработать с учетом возрастных особенностей детей требования к отбору содержания непрерывного образования; ввести критерии оценки уровня профессионализма учителя, реализующего новую технологию.
Уточним, например, механизм построения структуры непрерывной системы образования на основе разработанной технологии как инварианта, обеспечивающего функциональные связи между различными ее элементами. Для этого выделим уровни реализации нормотворческой деятельности в предлагаемой технологии:
1) разработчик системы научных понятий - соответствует уровню системообразователя научных понятий;
2) разработчик методов - соответствует разработке методов на основе системы научных понятий;
3) разработчик технологий - соответствует конкретизации известного метода до уровня технологии;
4) разработчик методик - соответствует конкретизации известной технологии до уровня методики.
Есть две науки, в которых все методы, технологии и методики разрабатываются на понятийной базе: математика и теория деятельности. Из них одна математика адаптирована до уровня учебного содержания. Следовательно, в настоящее время только в процессе обучения математике можно сформировать способность ученика ко всем уровням нормотворческой деятельности. Это определяет роль математики не только как науки, на содержании которой можно сформировать все виды деятельности на различных уровнях абстракции.
Предлагаемая модель непрерывного образования сохраняет как опыт традиционной школы, так и достижения психолого-педагогических теорий развивающего обучения, согласуя между собой их результаты. Преемственность с традиционной моделью школы позволяет осуществить эволюционный переход к новым ценностям образования. Действительно, этапы 1, 2, 5 - 8 в описанной выше структуре урока введения нового знания лишь систематизируют известные каждому учителю приемы активизации деятельности детей, разработанные в отечественной педагогике в течение последних десятилетий. А этапы 3 и 4 на первых порах могут проводиться в форме проблемного изложения знаний, которым также владеет сегодня каждый педагог. Таким образом, учитель, начинающий осваивать технологию деятельностного метода, достаточно быстро получает положительный результат, опираясь на свой практический опыт. Это помогает ему положительно самоопределиться и подготовиться к новому методу работы на этапах 3 и 4. На этой основе возможно постепенное, поэтапное овладение учителем технологией деятельностного метода во всей ее полноте.
В настоящее время есть и опыт реализации предложенной модели обучения в системе непрерывного математического образования программы "Школа 2000...".
Учебники этой программы рекомендованы Министерством образования РФ на ступенях дошкольной подготовки, начальной и средней школы, входят в Федеральный перечень учебников, сегодня по ним занимаются более 10% школьников страны. Интегративный характер концепции позволяет использовать данный курс математики совместно с широким спектром курсов по другим учебным предметам.
Многоуровневая подготовка учителей к работе по технологии деятельностного метода ведется в Москве на базе Центра системно-деятельностной педагогики АПК и ПРО МО РФ и Ассоциации "Школа 2000...". Одновременно началась работа по созданию соответствующей системы подготовки педагогических кадров в педколледжах и пединститутах. Трудом энтузиастов - учителей, методистов, специалистов управлений образования, преподавателей педколледжей и пединститутов и т.д., накапливается практический опыт деятельности образовательных учреждений в новых условиях.