Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat universiteti fizika -matematika fakulteti

1.2 To`g`ri chiziq ustida amallar va grafiklar
1 Ikkita to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak.
y  x  , y
y  x 

tg 
Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchakning tangensini topish formulasi.
1-misol. y  3x 1, y  2x  5 to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.
Yechish. (1) formulaga asosan,
tg 
bo‘lib,   arctg 1/7  arctg0.14  ,   bo‘ladi.
Ikkita to’g’ri chiziqning kesishuvi. Ikkita to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasini topish uchun ularning tenglamalarini birgalikda yechib, kesishish nuqtasining koordinatlari topiladi.
Kesishuvchi to`g`ri chiziqlar


Parallel to`gri chiziqlarning grafiklari;

Perpendikulyar to`g`ri chiziqlar grafiklari;





Ayqash to`g`ri chiziqlar;







Y x
0 -1
1 0
2 1
-1 -2
1)y=x+1 grafigi bilan y=1-x grafigini kesishtiramiz.1-chizma 2) y= x+1 va y=x+2

1. 
   

3-misol.To‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasini

2x  y  3  0
x  y  2  0 toping.
Yechish. Ikkinchi tenglamani (1) ga ko‘paytirib, hosil bo‘lgan tenglamalarni
hadma-had qo‘shib x 1 0, x 1 ni hosil qilamiz. x 1ni birinchi tenglamaga
qo‘ysak, 2 1 y 3  0 yoki y 1 bo‘ladi. Shunday qilib, bu to‘g‘ri chiziqlar A(1;1)
nuqtada kesishadi.
4. Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa. Berilgan M  ;  nuqtadan berilgan xcos  ysin  p  0 to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa
d  cos  sin  p (2)
formula yordamida topiladi. To’g’ri chiziq tenglamasi umumiy
Ax  By C  0
ko’rinishda berilgan bo’lsa, nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa,
d=
formula bilan topiladi.
4-misol. A(3;5) nuqtadan 2x  5у 2  0 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani
toping.
Yechish. To‘g‘ri chiziq tenglamasi umumiy holda berilgan. Shuning uchun (3)
formulaga asosan,
d= = d=3
bo‘ladi.
5-misol. Ikki xil transport vositasida yuk tashish harajatlari funksiyasi
y 100 50x va y  200  30x
bilan ifodalansin. Bunda, у transport harajati, x har yuz kilometrga yuk tashish
masofasi. Qanday masofadan boshlab 2-xil transport vositasi bilan yuk tashish
tejamliroq bo‘ladi.
Yechish. Masala shartida berilgan y 100 50x va y  200  30x
to‘g‘ri chiziqlar kesishadigan nuqtani topamiz: tengliklarning chap tomonlari
teng bo‘lganligi uchun 100 50x  200 30x tenglamani hosil qilamiz, bundan
x  5,
y  350 bo‘ladi. Demak, to‘g‘ri chiziqlar A(5,350) nuqtada kesishadi.
Endi to‘g‘ri chiziqlarni yasaymiz: (2-chizma).

2-chizmadan ko‘rinadiki, yuk tashish masofasi 350 km dan ortiq bo‘lganda 2-xil

transport vositasi bilan yuk tashilsa, harajat kamroq bo‘ladi.
5 Ikkita parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani topish
5x  2y 10  0 va 5x  2y 36  0
Birinchi to’g’ri chiziqda х  4 desak, у 15 bo’lib, А4,15 1-to’g’ri chiziqdagi nuqta bo’ladi. А4,15 nuqtadan ikkinchi 5x  2y  36  0 to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani (3) formulaga asosan, hisoblasak,
d= = d=
bo’ladi.

Ⅱ. To`g`ri chiziq va uning tenglamalari

Fazodagi to`g`ri chiziq holatlari.
Perpendikulyar
Chiziqlar har doim ham parallel bo'lolmaydi. Aslida, chiziqlar kesishishi mumkin va ular bajarilganda, ularning kesishish nuqtasida burchaklar hosil bo'ladi. Ikki chiziq 90° o'lchov bilan to'g'ri burchak ostida kesishganda, bu burchaklarni hosil qilgan chiziqlar perpendikulyar deyiladi. Geometriyada to'g'ri burchak ostida perpendikulyar vositalar qo'llaniladi. Agar chiziq boshqa chiziqni to'g'ri burchakka yoki 90 ° burchakka qo'ysa, perpendikulyarlik hosil bo'ladi, ya'ni ikkala chiziq ham bir-biriga perpendikulyar bo'ladi. Oddiy ma'noda, boshqa burchak bilan to'g'ri burchak hosil qiladigan chiziqga perpendikulyar chiziq deyiladi. Masalan, devorlar polga perpendikulyar yoki biz tik turganimizda, biz tekislikka perpendikulyar turamiz. Ikkita perpendikulyar chiziqlar kesishish nuqtalarida to'rtta burchak hosil qiladi, ularning barchasi teng va to'g'ri burchak ostida.
1- t a ' r i f. Fazodagi ikkita a va b to 'g'ri chiziq bir tekislikda yotsa va kesishmasa, ular parallel to'g'ri chiziqlar deyiladi. a va b to'g'ri chiziqlarning parallelligi kabi yoziladi. Tekislikda bo'lgani kabi, fazoda quyidagi teorema o'rinli. 1-t eorema. Fazoning berilgan to'g'ri chiziqda yotmagan nuqtasidan shu to'g'ri chiziqqa parallel yagona to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. I s b o t i. a — berilgan to'g'ri chiziq va M— bu to'g'ri chiziqda yotmagan nuqta bo'lsin. a to'g'ri chiziq va Mnuqta orqali α tekislik o'tkazamiz. So'ngra α tekislikda M nuqta orqali a to'g'ri chiziqqa parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Ular uchun tekislikdagi barcha xulosalar o'rinli. Jumladan, berilgan M nuqta orqali berilgan to'g'ri chiziqqa parallel yagona to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Haqiqatan, agar berilgan M nuqta orqali va a to'g'ri chiziqqa parallel ravishda o'tkazilgan boshqa to'g'ri chiziq mavjud deb faraz qilsak, a va to'g'ri chiziqlar orqali tekislik o'tkazish mumkin. Ikkinchi tomondan, tekislik a to'g'ri chiziq va M nuqta orqali o'tadi, demak, avvalgi bobda isbotlanganiga ko'ra, u α tekislik bilan ustma-ust tushadi. Bundan, parallel to'g'ri chiziqlar aksiomasi bo'yicha va to'g'ri chiziqlarning ustma-ust tushishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. Bizga α tekislik hamda ikkita a va b to'g'ri chiziqlar berilgan bo'lsin. a to'g'ri chiziq α tekislik bilan A nuqtada kesishsin, b to'g'ri chiziq esa α tekislikda yotsin, lekin u A nuqta orqali o'tmasin. α va b to'g'ri chiziqlar orqali tekislik o'tkazish mumkin emas, chunki, aks holda, b to'g'ri chiziq va A nuqta orqali ikkita har xil tekisliklar o'tkazish mumkin bo'ladi: ulardan biri — a to'g'ri chiziqni kesib o'tuvchi α tekislik bo'lsa, ikkinchisi esa a to'g'ri chiziq unda yotadigan tekislikdir. Bunday bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib, fazodagi to'g'ri chiziqlar uch xil bo'lishi mumkin.
1. Kesishuvchi to'g'ri chiziqlar.
2. Parallel to'g'ri chiziqlar.
3. Parallel bo'lmagan va kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar.
2-ta'rif. Fazodagi o'zaro parallel bo'lmagan va kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar ayqash to'g'ri chiziqlar deyiladi. 2-t eorema (to'g'ri chiziqlarning parallellik alomati). Uchinchi to'g'ri chiziqqa parallel ikkita to'g'ri chiziq o'zaro paralleldir. I s b o t i. Faraz qilaylik, va bo'lsin. bo'lishini isbotlaymiz. a va c to'g'ri chiziqlar o'zaro kesishmaydi, chunki, aks holda, a va c to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasi orqali bitta b to'g'ri chiziqning o'ziga parallel ikkita har xil a va c to'g'ri chiziq o'tishi kerak edi, lekin bunday bo'lishi mumkin emas. a va c to'g'ri chiziqlar ayqash bo'lsin, deb faraz qilaylik. Parallel αvab to'g'ri chiziqlar orqali γ tekislik, parallel b va c to'g'ri chiziqlar orqali esa α tekislik o'tkazamiz. α to'g'ri chiziq va c to'g'ri chiziqning biror C nuqtasi orqali β tekislik o'tkazamiz. α va β tekisliklarning kesishish chizig'i m to'g'ri chiziq bo'lsin. U holda b, c, m to'g'ri chiziqlar bitta α tekislikda yotadi, bunda bo'ladi. Shu sababli c to'g'ri chiziq bilan kesishuvchi m to'g'ri chiziq, unga parallel b to'g'ri chiziqni biror P nuqtada kesib o'tishi lozim. m va b to'g'ri chiziqlar, mos ravishda, β va γ tekisliklarda yotadi. Shu sababli ular uchun umumiy P nuqta ularning kesishish chizig'i bo'lgan α to'g'ri chiziqda yotadi. Lekin bunda α va b to'g'ri chiziqlar, teoremaning shartiga zid ravishda, umumiy P nuqtaga ega bo'ladi. Demak, α va c to'g'ri chiziqlar kesishuvchi ham, ayqash ham bo'lishi mumkin emas, ular faqat parallel bo'ladi, ya'ni .Teorema isbotlandi. Bitta to'g'ri chiziqda yoki parallel to'g'ri chiziqlarda yotuvchi ikkita va undan ko'p kesmalar o 'zαro parallel deyiladi.
3- t a ' r if. Agar a to'g'ri chiziq va a tekislik cheksiz davom ettirilganda ham kesishmasa, ular parallel deyiladi,
Poyezd izlariga doim qaraysizmi? Garchi u shunga o'xshash ko'rinishi mumkin bo'lsa-da, lekin ikkita temir po'lat hech qachon kesishmaydi, chunki ular bir-biriga parallel. Har kuni stol, stul, zinapoya, tortma, eshik va yo'l kabi parallel chiziqlarning misollaridan ba'zilari juda oz. Atrofimizdagi har kuni ko'radigan, ammo biz anglamaydigan parallel chiziqlar haqida millionlab misollar mavjud. Parallel chiziqlar bu hech qachon samolyotda uchrashmaydigan chiziqlar va ular har doim bir-biridan teng masofada joylashgan. Tasavvur qiling-a, agar zinapoyalar bir-biriga parallel bo'lmasa yoki bu uchun stulning oyoqlarini olmasa nima bo'lar edi? Zinapoyadan yoki stuldan foydalanayotgan har bir kishi yiqilib tushishi mumkin. Ikki parallel chiziqlar bir xil qiyaliklarga ega va ular hech qachon bir-biriga tegmaydilar. Biroq, ikkita chiziq parallel bo'lishi uchun ular bir xil tekislikda bo'lishi kerak.
Dekart koordinatalar sistemasida ordinatalar o’qidan О(0;0) dan hisoblanganda uzunligi bga teng kesma ajratadigan, absissa o’qi bilan burchak hosil qiluvchi to’ri chiziqni qaraymiz. To’g’ri chiziq ixtiyoriy С(х;у) nuqtasini olamiz. Hosil bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchakdan ekanligini topamiz. Bu tenglamadagi to’g’ri chiziqning burchak koeffisenti deyiladi vа k bilan belgilanadi:
k= .
Тo’g’ri chiziq tenglamasi ko’rinish oladi. Undan to’g’ri chiziqning
burchak koeffisentli tenglamasi deb ataluvchi
у=kx+b (2)
tenglamani olamiz .
1 . To’g’ri chiziqning burchak koeffisiyentli tenglamasi.
y = kx + b (1)
Bu yerda k = tgα , b =OA