Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта маҳсус таълим вазирлиги қарши муҳандислик иқтисодиёт институти нефть ва газ факультети

Синов саволлари:

1. 
   Қандай системалар турғун ростлаш системалари дейилади?
   
2. 
   Қандай системалар нотурғун ростлаш системалари дейилади?
   
3. 
   Қандай системалар турғунлик чегарасидаги ростлаш системалари дейилади?
   
4. 
   Ночизиқ дифференқиал тенгламани чизиқлантириш шартлари қандай?
   

5. 
   Ляпунов теоремасининг шартларини айтинг.
   
6. 
   Характеристик тенгламанинг илдизлар текислигида илдизларнинг жойлашувининг тахлилини биласизми?
   

10-маъруза. Турғунликнинг алгебраик мезнонлари
Маъруза режаси:

1. 
   Турғунликнинг асосий шартлари.
   
2. 
   Рауснинг турғунлик мезони.
   
3. 
   Гурвиц мезони.
   

Бу мезонлардан фойдаланган ҳолда характеристик тенгламанинг ечимини топмай ва графиклар қурмай туриб, фақатгина тенглама коэффициентлари устида алгебраик ҳисоб-китоб ишларини олиб бориб, системани тунғунликка текшириш мумкин.
Инглиз математиги Раус 1875 (1877) йилда система турғунлигини текширишнинг қуйидаги мезонини яратди.
Текширилаётган системанинг характеристик тенгламаси қуйидаги кўринишда бўлсин:
(1)
Раус қуйидагича жадвал тузишни таклиф этади.
Коэффициентлар жадвали

№ қаторлар	№ устунлар
	1	2	3	4
1
2
3
4
5	…	…	…	…

Жадвал тузиш усули қуйидагича:
Биринчи қатор дан бошланиб характеристик тенгламанинг жуфт индексли коэффициентларидан тузилади.
Иккинчи қатор тоқ индексли коэффициентларидан тузилади.
Учинчи қатор биринчи икки қатор мос коэффициентларни қарама қарши кўпайтириб, кўпайтмани олдинги қаторнинг биринчи устини элементига бўлинади.
Юқорида келтирилган жадвал тўлдирилгандан сўнг Раус мезони қуйидагича ифодаланади. АРС турғун бўлиши учун система характеристик тенгламаси коэффициентларидан тузилган жадвал биринчи устунининг барча элементлари бўлган шартда нолдан фарқли ва мусбат бўлиши лозим ва етарли. Бу мезондан фойдаланиш характеристик тенглама коэффициентлари миқдорий берилганда жуда қулай.
Швейцария олими Гурвиц 1895 йилда Гурвиц мезони номини олган турғунликнинг алгебраик мезонини таклиф этади. Бу мезон характеристик тенгламанинг Гурвиқ аниқловчиси ёки матрицаси деб аталувчи махсус аниқловчиларини тузишга асосланган.
Бунда қуйидаги қоидаларга асосан коэффициент a₀ > 0 бўлиши керак:
1) асосий диагонал бўйича ўсиш тартибида a₁ дан а_n гача барча координаталар кўчириб ёзилади;
2) аниқловчининг барча устунлари диагоналдан юқорига индекслари ўсаётган коэффициентлар, диагонал элементларидан пастга эса индекслари камаювчи коэффициентлар билан тўлдирилади;
3) энг катта тартибли Гурвиц аниқловчиси системанинг характеристик тенгламаси даражасига тўғри келади;
4) n дан катта индексли коэффициентлар нольга тенг;
5) индекслари нольдан кичик бўлган коэффициентлар нольга тенглаштирилади;
6) охирги _n аниқловчи а_n_n-1 га тенг. Шунга мувофиқ Гурвиц аниқловчилари қуйидагича бўлади:
ва ҳоказо.
Гурвиц аниқловчисининг умумий кўриниши эса:

Гурвиц мезони асосида энг содда системалар турғунлигининг қуйидаги шартлари келиб чиқади: 1) агар биринчи ва иккинчи тартибли системаларда характеристик тенгламанинг барча коэффициентлари мусбат бўлса, бу системалар турғун бўлади; 2) агар учинчи тартибли системада характеристик тенгламанинг барча коэффициентлари мусбат бўлиб, а₁а₂ >а₀а₃ бўлса, система турғун бўлади; 3) агар характеристик тенгламанинг барча коэффициентлари мусбат бўлиб, а₁а₂а₃ >а₀а₃²а₄а₁² бўлса, тўртинчи тартибли система турғун ҳисобланади.
Гурвиц мезонидан фойдаланилганда ₁ дан _n гача барча аниқловчиларни ҳисоблашнинг кераги йўқ. Масалан, учинчи тартиб­ли системанинг турғунлигини аниқлаш керак бўлса, учта аниқловчидан бирини топишнинг ўзи кифоя. a₄ ва а₅ коэффициентлар ₃ аниқловчида нольга тенг:
.
Агар ₂ аниқловчи мусбат бўлса, ₃ аниқловчи ҳам мусбат бўлади. ₃=а₃₂ > 0, чунки а₃ > 0. ₁ аниқловчи эса маълум (₁= а₁) ва мусбат (чунки a₁>0). Алгебраик мезон бешинчи тартибдан ошмайди ва у кечикишсиз чизиқли системалар учун анча қулай.