Ўзбекистон республикаси

Мавзуга доир саволлар.

1. 
   Сонли қатор деб нимага айтилади? Қаторнинг умумий хади нима?
   
2. 
   Қаторнинг хусусий(қисмий) йиғиндиси нима?
   
3. 
   Қатор яқинлашишининг ва узоқлашишининг таърифини айтинг.
   
4. 
   Қаторнинг йиғиндиси деб нимага айтилади?
   
5. 
   Геометрик прогрессия ҳадларидан тузилган қатор кандай шартда яқинлашувчи булади?
   
6. 
   Қатор яқинлашишинг зарурий шарти нимадан иборат? Бу шарт етарли эмаслигини курсатувчи мисоллар келтиринг.
   
7. 
   Гармоник қатор деб кандай қаторга айтилади? Гармоник қаторнинг узоқлашувчи эканини исботланг.
   
8. 
   Яқинлашувчи қаторлар устида кандай амаллар бажариш мумкин?
   
9. 
   Яқинлашувчи қаторлар устидаги энг содда амалларни исботланг.
   

2-мавзу. Мусбат ҳадли қаторлар. Мусбат хадли қаторлар яқинлашишининг етарли шартлари

2.1. Мусбат ҳадли қаторлар.
Хамма ҳадлари бир хил ишорали бўлган қаторлар ўзгармас ишорали қаторлар дейилади. Аниқлик учун биз мусбат ҳадли қаторларни қараймиз.

Шуни қайд қиламизки, мусбат ишорали қаторда барча лар учун тенгсизлик ўринли, яъни хусусий йиғиндилар ўсувчи кетма-кетлик ҳосил қилади. Бундай ҳолда да иккита имконият мавжуд бўлади: ё хусусий йиғиндилар кетма-кетлиги , бу ҳолда қатор узоқлашади, ёки хусусий йиғиндилар кетма-кетлиги чегараланган ва бу ҳолда лимит мавжуд бўлади, демак қатор яқинлашувчи.

Шундай килиб, мусбат ишорали қаторларнинг яқинлашишини исботлашда хусусий йиғиндилар кетма-кетлигининг чегараланган эканини аниқлашнинг ўзи етарлидир. Мусбат ишорали қаторлар яқинлашувчи бўлишининг ҳар хил аломатларини, яъни учун формула чикармай ва нинг лимитини хисобламай туриб, қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканини аниқлаш имконини берадиган усулларни ўрганамиз.

2.2. Қатор яқинлашишининг таққослаш теоремалари
Мусбат ишорали иккита

(1)

(2)
қаторни қараймиз. Булар учун қуйидаги теоремалар ўринли.

1-т е о р е м а. Агар (1) қаторнинг ҳадлари (2) қаторнинг мос ҳадларидан катта бўлмаса, яъни

≤ (n=1,2,3,…) (3)

бўлса ва (2) қатор яқинлашувчи бўлса, у ҳолда (1) қатор хам яқинлашувчи булади.

И с б о т и. (1) ва (2) қаторлар хусусий йиғиндиларини мос равишда ва билан белгилаймиз. (3) тенгсизликлардан эканлиги келиб чикади. (2) қатор яқинлашувчи эканлиги туфайли мавжуд.

Унда қаторнинг ҳадлари мусбат ишорали булгани учун _n< тенгсизлик уринли, демак, . Шундай килиб, (1) мусбат хадли қатор хусусий йиғиндилари кетма-кетлиги чегараланган ва демак, бу қатор яқинлашувчи. Шу билан бирга бу қатор йиғиндиси (2) қатор йиғиндисидан катта булмайди.

2-т е о р е м а. Агар (2) қаторнинг ҳадлари (1) қаторнинг мос ҳадларидан кичик булмаса, яъни

≤ , (n=1,2,3,…) (4)

бўлса ва (2) узоқлашувчи бўлса, у ҳолда (1) қатор хам узоқлашувчидир.

И с б о т и. (1) ва (2) қаторларнинг -хусусий йиғиндиларини мос равишда ва _n билан белгилаймиз. (4) тенгсизликлардан эканлиги келиб чикади. (1) қатор узоқлашувчи ва унинг хусусий йиғиндилари ортиб борганлиги сабабли: . Бу ҳолда .

Демак, (1) қатор узоқлашувчи. Теорема исботланди.

Иккала теорема (4) тенгсизликлар барча лар учун эмас, балки бирор дан бошлаб бажарилса хам ўринли булаверади.

Иккала теоремани қисқача бундай ифодалаш мумкин: кичик бўлмаган ҳадли қаторнинг яқинлашувчанлигидан катта бўлмаган ҳадли қаторнинг яқинлашувчанлиги келиб чикади, катта бўлмаган ҳадли қаторнинг узоқлашувчанлигидан кичик булмаган хадли қаторнинг узоқлашувчанлиги келиб чикади.

1-м и с о л. Ушбу

қатор яқинашувчи, чунки бу қаторнинг ҳадлари

қаторнинг мос ҳадларидан катта эмас. Охирги қатор яқинлашувчи, чунки бу қаторнинг ҳадлари махражи га тенг, йиғиндиси эса 2 га тенг геометрик прогрессияни ташкил этади. Демак, берилган қатор хам яқинлашувчи булади, шу билан бирга унинг йиғиндиси 2 дан катта булмайди.

2-м и с о л. Ушбу

1+

қатор узоқлашувчи , чунки унинг ҳадлари иккинчи хадидан бошлаб,

1+

гармоник қаторнинг мос ҳадларидан катта, гармоник қатор эса, маълумки, узоқлашувчидир.

Амалда таққослаш аломатидан қуйидаги куринишда фойдаланиш энг кулайдир;

3-т е о р е м а (таққослашнинг лимит аломати). Агар нисбатнинг лимити мавжуд бўлса ва у нолга тенг булмаса, яъни бўлса, у ҳолда (1) ва (2) қаторларнинг иккаласи ё яқинлашади, ёки узоқлашади.

3-м и с о л. Ушбу

қаторни

гармоник қатор билан таккослаймиз. қаторни тузамиз ва унинг лимитини топамиз.

чунки, n→∞ да .

Шундай килиб, берилган қатор узоқлашувчи, чунки гармоник қатор узоқлашувчи.

4-м и с о л. Ушбу қаторни

қатор билан таккослаймиз, охирги қатор яқинлашувчи, чунки унинг ҳадлари махражи булган геометрик прогрессияни ташкил этади.

нисбатни тузамиз ва унинг лимитини топамиз: n→∞ да sin  булгани учун . Шундай килиб, берилган қатор яқинлашувчи.