Funksiyani hosila yordamida tckshirish va grafigini

_8- ma’ruza.

FUNKSIYANI HOSILA YORDAMIDA TCKSHIRISH VA GRAFIGINI YASASH

1. Funksiyaning monotonlik sharti

Kamaymovchi (o‘smovchi), o‘suvchi (kamayuvchi) funksiyalarning ta’riflarini yana bir eslab o‘tamiz.
1. x₁  x₂ shartni qanoatlantiradigan x₁ , x₂ a,b uchun
f ^x₁ ^  f ^x₂ ^, ^ f ^x₁ ^  f ^x₂ ^ tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f (x) funksiya ^a; b^

oraliqda kamaymovchi (o‘smovchi) deyiladi.
2⁰. x₁  x₂ shartni qanoatlantiradigan
x₁, x₂ a,b

uchun

f x₁  
f x₂ ,
 f x₁  
f x₂ 
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,
f (x)
funksiya a; b

oraliqda (kamayuvchi) deyiladi. Ba’zan, o‘suvchi (kamayuvchi) o‘rniga qat’iy o‘suvchi (qat’iy kamayuvchi) deb ham yuritiladi.
Hosila yordamida ham funksiyaning monotonligini aniqlash

mumkinligini ko‘rsatamiz. bo‘lsin.
f (x)
funksiya
(a,b)
oraliqda aniqlangan

8.1.1-teorema.

f (x)
funksiya
(a,b)
oraliqda chekli
f ^/' (x)
hosilaga

ega bo‘lsin. Funksiyaning shu oraliqda o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishi uchun

f ^/ (x)  0
( f ^/ (x)  0) ,
x (a,b)

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.

8.1.2-teorema.

f (x)
funksiya
(a,b)
oraliqda chekli hosilaga ega

bo‘lib,
f ^' (x)  0
^{( f ' (x)  0)} tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,
f (x)
funksiya
(a,b)

oraliqda qat’iy o‘suvchi( qat’iy kamayuvchi) bo‘ladi.

8.1.3-teorema.

f (x)
funksiya
(a,b)
oraliqda chekli
f ^' (x)
hosilaga

ega bo‘lsin. Bu funksiyaning(a,b) oraliqda o‘zgarmas bo‘lishi uchun

bo‘lishi zarur va yetarli.

f ^' (x)  0,
x (a,b)

8.1-chizma. 8.2-chizma.

8.1.4-natija. Agar
f (x) va
gx
funksiyalar
(a,b)
oraliqda

aniqlangan bo‘lib, chekli
f ^/ (x) va
g ^/ x
hosilalarga ega bo‘lib,
x  a; b

^da f ^/ (x) ⁼ g ^/ x
bo‘lsa,
(a,b)
da bu funksiyalarning biri ikkinchisidan

o‘zgarmas songa farq qiladi, ya’ni
f x  gx C ,
x  a; b.

8.1.2-teoremaning geometrik ma’nosi quyidagicha:

1) f ^/ (x)  0
(tg  0)
shart funksiya grafigining har bir nuqtasiga

o‘tkazilgan urinma abssissalar o‘qining musbat yo‘nalishi bilan o‘tkir burchak tashkil qilishini (8.1-chizma);
2) f ^/ (x)  0 shart esa,- o‘tmas burchak tashkil qilishini anglatadi

(8.2-chizma).

8.1.5-eslatma.

f x


funksiya

(a,b)

oraliqda chekli

f ^/ x

hosilaga ega

bo‘lib, bu funksiyaning
(a,b)
oraliqda qat’iy o‘suvchi (qat’iy kamayuchi)

bo‘lishidan,
f ^/ x
ning
x (a,b) da musbat (manfiy) bo‘lishi har doim

ham kelib chiqavermaydi.

Masalan, ma’lumki,
f x  x^3
funksiya R ^{da qat’iy o‘suvchi, lekin}

uning
y^  3x²
hosilasi hamma joyda musbat emas,
x  0
da esa nolga

aylanadi.
Shunday qilib, funksiya hosilasining

(a,b)

oraliqda musbat (manfiy)

bo‘lishi funksiyaning qat’iy monoton bo‘lishi uchun zaruriy shart bo‘la olmaydi.
Funksiyani monotonlikka tekshirganda avvalo uning hosilasini topish (u mavjud bo‘lgan joyda) kerak, so‘ngra hosila musbat (manfiy) bo‘ladigan oraliqlarini aniqlash kerak. Hosilasi musbat (manfiy) bo‘lgan oraliqlarda funksiya monoton o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi.

8.1.6-misol. Ushbu 1)
f x  x³  2x  5;
2) f (x)
2x _;
1  x²

funksiyalarning monotonlik oraliqlarini aniqlang.

Yechilishi. 1) Berilgan funksiya
x  R
uchun aniqlangan bo‘lib u

differensiallanuvchi: da o‘suvchi.
f ^/ x  3x²  2  0, x  R ^{. Demak, berilgan funksiya} R

2) f (x) 
2x 1  x ²
funksiya
21  x ²
x  R
da aniqlangan va u

differensiyalanuvchi:
f '(x) 
(1  x ² )^{2 .}
Bundan
(, 1)  (1,  )
oraliqlarda

f ^/ x  0 ^{, 1; 1}
oraliqda esa
f ^/ x  0
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,

funksiya
(, 1)
va (1,  )
oraliqlarda qat’iy kamayuchi, 1; 1
oraliqda

qat’iy o‘suvchi.

2. Funksiyaning ekstremum qiymatlari

f x
funksiya
(a,b)
oraliqda aniqlangan bo‘lib,
x₀  (a,b) bo‘lsin.

Funksiyaning ekstremum qiymatlari tushunchasini yana bir marta eslatib o‘tamiz.

8.2.1-ta’rif. Agar
x₀  (a,b)
nuqtaning shunday
U_ x₀ 
atrofi mavjud

bo‘lib,
x U_ (х₀ )
uchun


f (x)  f (x₀ )

( f (x)  f (x₀ ))

tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,
f x
funksiya
x₀ nuqtada lokal maksimumga

(lokal minimumga) ega deyiladi.
f x₀ 
qiymat esa
f x
funksiyaning

U_ x₀  atrofdagi lokal maksimumi (lokal minimumi) deyiladi.

8.2.2-ta’rif. Agar
x₀  (a,b)
nuqtaning shunday
U_ x₀ 
atrofi mavjud

bo‘lib,
x U_б (х₀ )
uchun
f (x)  f (x₀ )
( f (x) 
f (x₀ ))
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,

f x
funksiya
x₀ nuktada qat’iy maksimumga (qat’iy minimumga) ega

deyiladi.
f x₀ 
qiymat esa
f x
funksiyaning U_ x₀  atrofdagi qat’iy lokal

maksimumi (qat’iy lokal minimumi) deyiladi.
Funksiyaning maksimumi va minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumi deyiladi.

Yuqorida keltirilgan ta’riflardagi
x₀ nuqta
f x
funksiyaning lokal

maksimum (lokal minimum), qat’iy maksimum (qat’iy minimum) nuqtasi deb yuritiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari uning ekstremum nuqtalari deyiladi.

Funksiyaning qiymatlari
U_ x₀ 
atrofdagi lokal maksimum (lokal minimum)

f (x₀
)  maxf (x) ^ f (х
)  minf (x) ^





0
kabi belgilanadi.
xU_ x₀  _
xU_ x₀  _

8.2.3-teorema (Funksiya ekstremumga ega bo‘lishining zaruriy

sharti). Agar
f (x)
funksiya
x₀ (x₀ (a,b))
nuqtada hosilaga ega

bo‘lib, u shu nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa,

0
f ^/ (x )  0
bo‘ladi.
Bu shart funksiya ekstremumga ega bo‘lishi uchun yetarli shart

bo‘la olmaydi. Masalan,
y  x³
funksiyaning
x  0
nuqtadagi hosilasi

nolga teng, ya’ni emas.
y ^/ (0)  0 , lekin funksiya bu nuqtada ekstremumga ega

Odatda funksiyaning hosilasi nolga aylanadigan nuqtalar stasionar
(turg‘un, kritik) nuqtalar deb ataladi.
x₀ nuqtada funksiya hosilaga ega bo‘lmasa ham ekstremumga ega

bo‘lishi mumkin. Masalan, 1)
f (x)  x
funksiyaning
x  0
nuqtadagi

hosilasi mavjud emas, lekin funksiya
2
x  0
nuqtada global minimumga

ega (8.3-chizma). 2) f (x)  x ³
funksiyaning
x  0
nuqtadagi hosilasi

cheksiz, lekin funksiya x =0 nuqtada global minimumga ega (8.4-

chizma).
8.3-chizma.
8.4-chizma.

Demak, funksiyaning hosilasi cheksiz yoki hosilasi mavjud bo‘lmagan nuqtalarda ham ekstremum mavjud bo‘lishi mumkin ekan.
Shunday qilib, f x funksiyaga ekstremum qiymat beruvchi
nuqtalarni funksiyaning stasionar nuqtalari, funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lmagan nuqtalar, funksiyaning hosilasi cheksiz bo‘lgan

nuqtalar orasidan izlash kerak ekan. Odatda bunday nuqtalar ekstremumga shubhali nuqtalar deb ataladi.