1-§. Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari

Misol 1. Quyidagi

(2.47)

(2.48)

Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlarini va xos funksiyalarini topamiz va unga Krum almashtirishini qo`llaymiz.

Dastlab (2.47) tenglamaning (2.48) chegaraviy shartlardan birinchisini qanoatlantiruvchi noldan farqli yechimini topib olamiz. Uni quyidagi ko`rinishda izlaymiz:

(2.49)

(2.49) funksiyaning hosilalarini topib, (2.47) tenglamaga qo`yamiz:

oxirgi tenglikka ko`ra

Bu yerdagi birinchi tenglikdan

bo`lishi kelib chiqadi. Buni ikkinchi tenglikka qo`ysak,

hosil bo`ladi. Demak,

(2.50)

Bu yechim uchun bo`lishi ravshan.

Endi ni topamiz:

Demak, yechim chegaraviy shartlardan birinchisini qanoatlantiradi. Buni ikkinchi chegaraviy shartga qo`ysak, ushbu

xarakteristik tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamaning ildizlari quyidagi sonlardan iborat:

Bu xos qiymatlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:

ya`ni

Krum teoremasida bo`lgan holda quyidagi tengliklar o`rinli bo`ladi:

Shunday qilib, ushbu

Chegaraviy masalani topamiz. Bu masalaning xos qiymatlari

bo`ladi.

Krum teoremasida bo`lgan holda

bo`ladi. Bundan

kelib chiqadi, ya’ni ushbu

masala hosil bo`lar ekan. Krum teoremasiga asosan bu masalaning xos qiymatlari bo`ladi.

Krum teoremada bo`lgan holda



(2.52)

bo`ladi. Quyidagi determinantlarni hisoblaymiz:

(2.53)

(2.54)

(2.51),(2.53),(2.54) larni (2.52) tenglikka qo`ysak

(2.55)

tenglik hosil bo`ladi. Bunga ko`ra

(2.56)

topamiz. Endi quyidagilarni hisoblab olamiz:

Demak, bu holda ushbu

masala hosil bo`lar ekan. Krum teoremasiga asosan bu masalaning xos qiymatlari sonlardan iborat.