1-ma’ruza: Chiziqli algebra

Teorema-1. Ekvivalent matritsalarning rangi o‘zaro teng bo‘ladi.
Teorema-2.Agar matritsaning rangi k ga teng bo‘lsa, u holda bu
matritsada k ta chiziqli erkli satr yoki ustun topiladi, qolganlari bu satr
yoki ustunlarlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat, ya’ni elementar
almashtirishlar yordamida bu matritsani k ta satr yoki ustuni noldan farqli,
qolganlari nol bo‘lgan ko‘rinishga keltirish mumkin.
Misol. Ushbu matritsaning rangi hisoblansin

Elementar usulidan foydalanamiz. Birinchi satr va birinchi ustun
kesishgan joyda turgan ”1” dan foydalanib 1- ustundagi barcha elementlarni
nolga aylantiramiz. Buning uchun birinchi satrni (-2), (-3) va (-1) ga
ko‘paytirib mos ravishda 2-, 3- va 4- satrlarga qo‘shamiz:
 ~
Ikkinchi va uchinchi satrlar o‘rnini almashtiramiz va 2- va 2- ustun
kesishgan joyda turgan (-1) yordamida ikkinchi ustundagi undan pastda
turgan elementlarni nolga aylantiramiz. Buning uchun ikkinchi satrni (-3)
ga ko‘paytirib uchinchi va to‘tinchi satrlarga qo‘shamiz:
 ~
Uchinchi satrni (-15) ga to‘rtinchi satrni 16 ga ko‘paytirib 3- va 4-
satrlarni qo‘shamiz

Demak yuqoridagi 1- va 2- teoremalarga asosan berilgan matritsaning
rangi 3 ga teng.
Ikkinchi tartibli kvadrat matritsaning teskari matritsasi ([1] 214-217 bet)
Ta’rif.Agar AA^-1A^-1Akabi bo‘lsa, A^-1kvadrat matritsa, o‘shanday
tartibli A kvadrat matritsaga teskari matritsa deyiladi. Berilgan
matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lmasa,A matritsa
xos matritsa deyiladi.
Misol. A= ; B= matritsalar berilgan. V matritsaning A ga teskari matritsa ekanini isbotlang.
Isbot. Ta’rifga binoan ABAbo‘lishi kerak.
AB=A B= = = I
BA=B A= = = I