1-ma’ruza: Chiziqli algebra

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish
Chiziqli tenglama deb,

ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi, bu erda va b – sonlar, - noma’lumlar. Shunday qilib, chiziqli tenglamaning chap tomonida no’malumlarning chiziqli kombinatsiyasi, o‘ng tomonida esa son turadi.
Agar bo‘lsa, chiziqli tenglama bir jinsli, aks holda, ya’ni bo‘lsa, bir jinsli bo‘lmagan tenglama deyiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasi deb quyidagi ko‘rinishdagi sistemaga aytiladi:


(1)

bu erda , - sonlar, - noma’lumlar, n – noma’lumlar soni, m – tenglamalar soni ( ).

Chiziqli tenglamalar sistemaining echimi deb shunday sonlarga aytiladiki, bu sonlarni noma’lumlar o‘rniga quyilganda, sistemaning har bir tenglamasi o‘rinli tenglikka aylanadi.Agar chiziqli tenglamalar sistemasi hech bo‘lmaganda bitta echimga ega bo‘lsa birgalikda bo‘lgan, aks holda, ya’ni yechimga ega bo‘lmasa, birgalikda bo‘lmagan tenglamalar sistemasi deyiladi.
Shuningdek, agar birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemai yagona echimga ega bo‘lsa aniqlangan, bittadan ko‘p echimga ega bo‘lsa, aniqlanmagan tenglamalar sistemai deb yuritiladi.
Kramer qoidasi
Endigi teorema n noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini echish formulasini beradi. Bu formula Kramer qoidasi deyiladi va echimlar matematik xossalarini o‘rganish uchun xizmat qiladi.No’malumlar soni tenglamalar soniga teng bo‘lgan quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasimini qaraylik:
(1)
Teorema. Kramer qoidasi.
Agar  o‘zgaruvchili chiziqli tenglamalar sistemasi bo‘lsa va det(A)≠0 bo‘lsa, u holda sistemaning echimi mavjud va u quyidagicha topiladi:
(2)
Bu erdaA matritsaning j – ustun elementlarini mos ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan matritsa.
Isboti. Agar det(A)≠0 bo‘lsa A matritsaga teskari matritsa mavjud va =A^-1. sistemaning yaagona echimi bo‘ladi. Quyidagiga ega bo‘lamiz



x_j quyidagicha topiladi


bo‘ladi.

.
Demak, elementlari noma’lumlar oldidagi koeffitsientlardan iborat =det(A) determinatni asosiy determinant deb ataymiz.
, (3)

determinantda x_j noma’lumlar oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan ustunni ozod hadlardan iborat ustun bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan determinantni bilan belgiladik.

1. 
   Agar bo‘lsa, (1) sistema quyidagi formulalar bilan aniqlanuvchi yagona echimga ega bo‘lib, u Kramer formulasi orqali topiladi:
   

.

2. 
   Agar = =0 bo‘lsa, (1) sistema cheksiz ko‘p echimga ega.
   
3. 
   Agar = 0, va lardan hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lsa, (1) sistema echimga ega emas.
   

Misol. Kramer qoidasi.
Kramer usuli yordamida quyidagi sistemani eching:

Yechish.To‘rttaharhilmatritsatuzamiz
;
1-ustunelementlarinibningeelementlaribilanalmashtiramiz
;
2-ustunelementlarinibningelementlaribilanalmashtiramiz
;
3-ustun elementlarini b ning elementlari bilan almshtiramiz

Bu matritsalarning determinantlarini hisoblab sistemaning echimini topamiz

Demak, x₁=-10/11; x₂=18/11; x₃=38/11.