1-ma’ruza: Chiziqli algebra

Birlik matritsalar([1] 213 bet)
Bosh diagonalidaturgan elementlari birga, qolgan elementlari nolga teng bo‘lgan kvadrat matritsa birlik matritsa deb ataladi va I_n bilan belgilanadi.

 ,  , (13)

Agar A mxn o‘lchamli matritsa bo‘lsa,u holda quyidagi tenglik o‘rinli:

A I_n = A va I_n A= A (14)
Misol. A= matritsa berilgan. Yuqoridagi (14) tenglikni isbotlang.
Isbot:
A =  =
 = 
A= matritsaning transponirlangan matritsasi deb, satrlari mos ustunlari bilan almashtirilgan
A^t = matritsaga aytiladi.

1. 
   Matritsaning rangi va uni hisoblash
   

To‘g‘ri burchakli A matritsa berilgan bo‘lsin. Bu matritsaning k ta satr
va k ta ustunini ajratib olsak, hosil bo‘lgan k- tartibli matritsaning
determinantiga A matritsaning k- tartibli minori deb ataladi. A
matritsaning turli tartibli minorlari orasida nolga teng bo‘lganlari ham
noldan farqli bo‘lganlari ham mavjud bo‘lishi mumkin.
Ta’rif. Agar A matritsaning k- tartibli minorlari orasida noldan
farqlisi bo‘lib, undan yuqori tartibdagi barcha minorlari nolga teng bo‘lsa,
bu matritsaning rangi k ga teng deyiladi va rangA=k kabi belgilanadi.
Matritsaning rangini ta’rif bo‘yicha topish ancha noqulay bo‘lib, biz
qulayroq bo‘lgan usulni keltiramiz.
Matritsa ustidagi quyidagi almashtirishlar elementar
almashtirishlar deb ataladi:
a) Faqat nollardan iborat satr yoki ustunni o‘chirish; b) Ikkita satrning (ustunning) o‘rnini almashtirish; v) Ixtiyoriy satr (ustun) elementlarini biror songa ko‘paytirib
boshqasiga qo‘shish; g)Satr (ustun)ning barcha elementlarini noldan farqli songa
ko‘paytirish.
Bir- biridan faqat elementar almashtirishlar bilan farqlanuvchi matritsalar o‘zaro ekvivalent deyiladi.