1-ma’ruza: Chiziqli algebra

1-Teorema.
A=
ikkinchi tartibli matritsaga teskari matritsa deb
A^-1 = =
matritsaga aytiladi.
Isbot. BizA A^-1A^-1 Aekanligini ko‘rsatishimiz kerak, ya’ni
A= ; A^-1=
A A^-1=
A^{- 1}A= 
2-Teorema.Agar bir xil o‘lchamli A va V matritsalarning teskarisi mavjud bo‘lsa, u holda (A B)^-1 =B^-1 A^-1 bo‘ladi.
Isbot. Agar bir xil o‘lchamli Ava V matritsalarning teskarisi mavjud bo‘lsa, u holda
(A B) ( B^-1 A^-1)= A (B B^-1) A^-1=A I A^-1=A A^-1=I
bo‘ladi, ammo
( B^-1 A^-1) (A B)=I.
Shuni isbot qilishimiz kerak edi.


Teskari matrisa va uni topish. kvadrat matrisa uchun birlik matrisa bo’lsa, kvadrat matrisa matrisaga teskari matrisa deyiladi. Odatda, matrisaga teskari matrisa bilan belgilanadi.
Teorema: kvadrat matrisa teskari matrisaga ega bo’lishi uchun matrisaning determinanti 0 dan farqli bo’lishi zarur va yetarlidir. (Bu teoremani isbotsiz keltirdik, uning isbotini kengroq dasturli kurslardan topish mumkin, masalan, V.Ye.Shneyder va boshqalar. «Oliy matematika qisqa kursi» 1tom. T. O’qituvchi. 1985. 407 b.)
kvadrat matrisa uchun bo’lsa , unga teskari bo’lgan yagona matrisa mavjud.

matrisaga teskari matrisa

formula bilan topiladi. Bunda mos ravishda elementlarning algebraik to’ldiruvchilari va .
Teskari matrisani topishga misol qaraymiz.
2-misol. Ushbu

matrisaga teskari matrisani toping.
Yechish. Oldin matrisaning determinantini hisoblaymiz:

Yuqoridagi teoremaga asosan teskari matrisa mavjud, chunki

ya’ni, berilgan matrisa maxsusmas matrisadir. ni topish uchun matrisa hamma elementlarining algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:

Teskari matrisani topish

formulasiga asosan

bo’ladi. teskari matrisaning to’g’ri topilganligini

tenglikning bajarilishi bilan tekshirib ko’rish mumkin, haqiqatan ham,



ya’ni, birlik matrisa hosil bo’ladi, bu teskari matrisaning to’g’ri topilganligini isbotlaydi.