1-ma’ruza: Chiziqli algebra

4-misol.
Tenglamalar sistemasini Gauss usulida eching:
.
Yechish. Gauss usuli berilgan tenglamalar sistemadagi noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotishdan iboratdir. Bu usulni qo‘llash oson bo‘lishi uchun 1-chi va 2-chi tenglamalarning o‘rnini almashtiramiz.
.
Endi 2-chi va 3-chi tenglamalardan x ni yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamani 3 ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglamadan, 2 ga ko‘paytirib, 3-chi tenglamadan ayiramiz va quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
2-chi tenglamaga 3-chi tenglamani qo‘shib, 3-chi tenglamadan z ni yo‘qotamiz:
.
Oxirgi tenglamadan ekanligi kelib chiqadi. Bu qiymatni 2-chi tenglamaga qo‘yib z ni aniqlaymiz. Topilgan y va z ni 1-chi tenglamaga qo‘yib topamiz. z = 3, x = 1. Shunday qilib, x = 1, u = 0, z = 3.
Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish.
Kroneker- Kapelli teoremasi.
Yuqorida qaralgan noma’lumlari soni n ta, tenglamalari soni m ta
bo‘lgan (1) sistemani qaraylik. Uning koeffitsentlaridan tuzilgan (2)
matritsa va ozod hadlar qo‘shilishidan hosil bo‘lgan kengaytirilgan
matritsani qaraylik

 , 

Ravshanki rangA ≤ rangB.
Teorema. (Kroneker- Kapelli).YUqoridagi (1) chiziqli tenglamalar
sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun bu sistema matritsasi va kengaytirilgan
matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va etarli.
Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda va x₁=k₁, x₂₌k₂,..., x_n=k_nva echimga ega bo‘lsin, uholda quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi.

B matritsaning 1- ustuninik₁ga, 2- ustuninik₂gavahokazo n ustuninik_ngako‘paytiriboxirgiustunidanayiramizva (8) nihisobga
olibVgaekvivalentmatritsahosilqilamiz

Bu matritsaning oxirgi ustunini o‘chirish bilan A matritsaga kelamiz.
Buning elementar almashtirishligini e’tiborga olsak:
rangA=rangB.
Yetarliligi. rangA=rangB bo‘lsin. U holda A matritsadagi chiziqli
bog‘liq bo‘lmagan maksimal sondagi ustunlar V matritsada ham chiziqli
bog‘liq bo‘lmaydi. Demak shunday k₁, k₂,..., k_nkoeffitsentlar topiladiki, V
matritsaning oxirgi ustuni bu koeffitsentlarning A matritsa ustunlari
bilan ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. V matritsaning oxirgi ustuni (1)
sistemaning oxirgi ustuni ekanligini hisobga olsak, Bu koeffitsentlar (1)
sistemaning echimi bo‘ladi. Demak A va V matritsalar rangining tengligi bu
sistemaning birgalikda ekanligini keltirib chiqaradi. Teorema isbot
bo‘ldi.
Agar rangA=rangB=n bo‘lsa tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng
bo‘lib sistema yagona echimga ega bo‘ladi.
rangA=rangB=kbo‘lib k₁, k₂,..., k_knoma’lumlar erkli o‘zgaruvchi k_k+1, k_k+2,..., k_nlar orqali
ifodalanadi va sistema cheksiz ko‘p echimga ega bo‘ladi. Agar A va
kengaytirilgan V matritsalar ranglari teng bo‘lmasa, sistema echimga ega
bo‘lmaydi.
Agar (1) sistemada b₁ =b₂=... =b_n=0 bo‘lsa sistema bir jinsli deb
ataladi.

Bu sistema doimo birgalikda, chunki kengaytirilgan V matritsa A
matritsadan elementlari noldan iborat oxirgi ustun bilan farq qiladi va
rangA=rangB. Agar rangA=n bo‘lsa sistema yagona x₁ =0, x₂ =0,..., x_n=0 echimga ega. rangAYuqoridagi (9) sistema nolmas echimga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning
asosiy determinanti nolga teng bo‘lishi kerak, bu tasdiq rangAkuchli bo‘ladi.