2 – Ma’ruza Mavzu: Kesishuvchi kuchlar sistemasi

2.2 § Kuchning o‘qqa va tekislikka proektsiyasi.

Kuchlarning analitik usulda berilishi va ularni qo‘shish.
Statika masalalarini analitik usulda qo’shish kuchni o‘qqa proektsiyalash tushunchasiga asoslangan. Kuchning (yoki har qanday vektorning) biror o‘qqa proektsiyasi, shu kuchning modulini o‘qning musbat yo‘nalishi bilan kuch vektori orasidagi burchakning kosinusiga ko‘paytmasiga teng bo‘lgan algebraik qiymatga aytiladi. Agar shu burchak o‘tkir bo‘lsa, - proektsiya musbat ishorali bo‘ladi, o‘tmas bo‘lsa - proektsiya manfiy ishorali bo‘ladi. Agar shu kuch o‘qqa perpendikulyar holda yo‘nalgan bo‘lsa, uning proektsiyasi nolga teng bo‘ladi.
Masalan, 17- shaklda tasvirlangan kuchlarning proektsiyalari quyidagicha bo‘ladi,

(2.4)

17- shakl


- kuchning Oxy tekislikka proektsiyasi deb, - vektorining boshi va oxiridan shu tekislikka tushirilgan proektsiyalarining orasidagi = vektorga aytiladi (18- shakl). Shunday qilib, kuchning o‘qqa proektsiyasidan farqli ravishda, kuchning tekislikka proektsiyasi vektor qiymat ekan, chunki uning son qiymatidan tashqari, shu Oxy tekislikda ma’lum yo‘nalishga ega bo‘ladi (kuchning o‘qdagi proektsiyasi skalyar qiymatdan iborat -tarj).

Kuchning tekislikdagi proektsiyasining moduli F_xy=F×cosƟ, bu erda q - berilgan kuch vektori - bilan, uning Oxy tekislikdagi proektsiyasi orasidagi burchak (19 shakl).

18- shakl

Ayrim hollarda kuchni to‘g‘ridan-to‘g‘ri o‘qqa proektsiyalash mumkin bo‘lmaydi, shu sababli uni, avvalo, shu o‘q yotgan tekislikka proektsiyalanadi, undan so‘ng shu proektsiya vektorni o‘qqa proektsiyalanadi. Masalan, 18- shaklda ko‘rsatilgan -kuchini to‘g‘ridan to‘g‘ri koordinata o‘qlariga proektsiyalab bo‘lmaydi, shuning uchun ularni o‘qlardagi proektsiyalari quyidagicha aniqlanadi,

(2.5)

Kuchni analitik usulda berilishi. Kuchni analitik usulda berilishi uchun, avvalo, Oxyz, koordinata o‘qlarini tanlab olishimiz lozim, so‘ngra shu o‘qlarga nisbatan kuchning fazodagi yo‘nalishi berilgan bo‘ladi. Mexanika fanida faqat o‘ng koordinata sistemalaridan foydalanish qabul qilingan. Bu sistemaning xususiyati shuki, Oz o‘qining musbat uchidan qaraganda Ox o‘qini soat strelkasiga teskari yo‘nalishda 90^o ga burganimizda, bu o‘q Oy o‘qi bilan ustma-ust tushadi (19-shakl).

19- shakl

Agarda berilgan F kuchning moduli va uning koordinata o‘qlari bilan hosil qilgan a, b, g - burchaklari ma’lum bo‘lsa, shu holdagina -kuch vektorini tasvirlash mumkin. Shunday qilib, F va a, b, g -lar - kuch vektorining tashkil etuvchilari hisoblanadi. Undan tashqari bu -kuchning qo‘yilgan nuqtasining koordinatalari, ya’ni x, y, z -lar ham berilgan bo‘lishlari shart.

Mexanika masalalarini echishda kuchlarni ularning proektsiyalari F_x, F_y, F_z - orqali berilishi qulay hisoblanadi. Ushbu proektsiyalarni bilgan holda, kuchning moduli va koordinata o‘qlari bilan hosil qilgan burchak kosinuslarini quyidagi formulalar orqali aniqlanadi,
(2.6)
Agar berilgan kuchlarning hammasi bir tekislikda joylashgan bo‘lsa, har bir kuchni ularning Ox va Oy o‘qlardagi proektsiyalari orqali berilishi mumkin bo‘ladi. U holda yuqoridagi formulalar soddaroq ko‘rinishga keladilar,
(2.7)

Kuchlarni analitik usulda qo‘shish. Kuchlarning vektor bog‘lanishi bilan ularning proektsiyalarini bog‘lanishi geometriya fanidagi quyidagi teorema orqali ifodalanadi: yig‘indi vektorning biror o‘qqa proektsiyasi, yig‘indi vektorni tashkil etuvchi vektorlarning shu o‘qqa proektsiyalarining yig‘indisiga teng. Ushbu teoremaga asosan, agar - vektori , ,... vektorlarning yig‘indisidan iborat bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa, u holda:

(2.8)
shu sababli, R_x, R_y va R_z - larni bilgan holda (10.6) formula orqali, yig‘indi vektorning moduli va burchak kosinuslarini aniqlaymiz, ya’ni:

(2.9)
Yuqoridagi (2.8) va (2.9) formulalar kuchlarni analitik qo‘shish uchun zarur bo‘lgan formulalarni tashkil etadi.

Berilgan kuchlar bitta tekislikda joylashgan kuchlardan iborat bo‘lsa (2.9) formulalar ancha soddalashadi,

(2.10)
Agar kuchlar, o‘zlarining modullari va burchak kosinuslari bilan berilgan bo‘lsalar, ularni analitik usulda qo‘shish uchun avvalo ularning proektsiyalarining yig‘indilarini aniqlash lozim bo‘ladi.