4-Mavzu: Geometriyaning tatbiqiy masalalari Reja: 1 Koordinatalar metodining tatbiqlari

Misol. A (-1,2) va B (2,-2) nuqtalar orasidagi masofani toping.

Yechish: ekanligini e’tiborga olib, (1) formuladan quyidagiga ega bo‘lamiz:

(uzunlik birligi) (5-rasm)

5-rasm

Kesmani berilgan nisbatda bo‘lishi. Aytaylik, A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) nuqtalar va son berilgan bo‘lsin. AB kesmani nisbatda bo‘lish masalasini qaraymiz, ya’ni A va B nuqtalar orasida yotuvchi shunday C nuqtani topish kerakki,

bo‘lsak, C nuqtaning koordinatalarini (x,y) deylik. x va y larni A va B nuqtalarning koordinatalari va paramert orqali ifodalovchi ushbu

formulalarni keltirib chiqaramiz. Bu formulalar kesmani nisbatda bo‘lish formulalari deb ataladi

6-rasm

A, C va B nuqtalardan O_x va O_y o‘qlarga perpendikulyarlar tushiramiz (6- rasm). U holda OA₁=x₁, OC₁=x, OB₁=x₂, OA₂=y₁, OC₂=y, OB₂=y₂ bo‘ladi. A nuqta orqali Ox o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziq CC₁ to‘g‘ri chiziq bilan esa D nuqtada kesishadi. BAE burchakni qaraymiz. CD va BE parallel to‘g‘ri chiziqlar uning tomonlaridan proportsional kesmalar ajratadi (bu maktab elementar geometriya kursidan ma’lum):

(*)

Endi AD va DE kesmalarni A, V, C nuqtalarning koordinatalari orqali ifodalaymiz:

U vaqtda (*) dan:

Xuddi shunga o‘xshash, isbot qilinadiki,

Xususan, =1 desak, bo‘ladi. Bu formulalar kesmani teng ikkiga bo‘lish formulalari deyiladi.

Haqiqatan A nuqta orqali Oy o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziq CC₂ va BB₂ parallel to‘g‘ri chiziqlarni mos ravishda N va K nuqtalarda kesadi. BAK burchakni qaraymiz. CN va BK parallel to‘g‘ri chiziqlar unda proportsional kesmalar ajratadi: