6-ma’ruza Tekislik va fazodagi to’g’ri chiziqning, hamda tekislikning turli ko’rinishdagi tenglamalari
Berilgan uch nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi
Download 0.8 Mb. Pdf ko'rish
|
6-ma’ruza 5e8f0dc9df4c1e2edba9a04e86b4f5b4
- Bu sahifa navigatsiya:
- Tekislikning kesmalardagi tenglamasi
- Tekislikning normal tenglamasi
- Tekislikning chala tenglamalari
- Fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamasi Fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi.
- Fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi.
- Fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi.
- Ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi
|
Berilgan uch nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi.
(
),
(
) va
(
) nuqtalar bir to„g„ri chiziqda yotmasin. U holda bu nuqtalar orqali o„tuvchi yagona tekislik mavjud. Bu tekislik tenglamasini ixtiyoriy nuqtaning tekislikka tegishli bo„lish sharti orqali topamiz. Bu shart tekislikning ixtiyoriy ( ) nuqtasi uchun
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ *
+,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ *
+ va
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ *
+ vektorlarning komplanar bo„lishidan iborat. Aralash ko„paytmaning 2-xossasiga ko„ra bu vektorlar komplanar bo„lishi uchun ularning aralash ko„paytmasi nolga teng bo„lishi kerak:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. Bu tenglikni koordinatalari bilan berilgan uchta vektor aralash ko„paytmasini hisoblashning (2.49) formulasiga ko„ra |
| (14) ko„rinishda yozish mumkin. Bu tenglama berilgan uch nuqtadan o‘tuvchi tekislik
|
| ( ) |
| ( )
|
| (
)
tenglikka ega bo„lamiz. Qavslar ochilgandan so„ng bu tenglik tekislikning umumiy tenglamasiga aylanadi. Tekislikning kesmalardagi tenglamasi. Berilgan uch nuqtadan o„tuvchi tekislikning xususiy holini qaraymiz.
( ),
( ), , nuqtalar bitta to„g„ri chiziqda yotmaydi va koordinata o„qlarida noldan farqli uzunlikka ega kesmalar ajratuvchi tekislikni aniqlaydi (7-rasm). Bu yerda “kesma uzunligi” deganda
va
nuqtalar radius-vektorlarining noldan farqli koordinatalari nazarda tutilgan.
( ) bu tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo‟lsa,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ * +,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ * +,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ * + bo„lganligi uchun (14) tenglama |
| ko„rinishni oladi. Determinantni hisoblab, ( ) tenglikka ega bo„lamiz va uni ko„paytmaga bo„lsak
tenglama hosil bo„ladi. Bu tenglama tekislikning kesmalardagi tenglamasi deb ataladi. 6-Misol. ( ) nuqtadan o„tuvchi va koordinata o„qlaridan bir xil uzunlikdagi kesmalar ajratuvchi tekislik tenglamasini tuzing. ►Qidirilayotgan tekislik koordinata o„qlarida bir xil uzunlikdagi kesmalar ajratgani uchun, uning tenglamasi
ko„rinishda bo„ladi. Bu tenglamani ( ) nuqtaning koordinatalari ham qanoatlantirishi kerak: ( ) Bundan esa ga va natijada qidirilayotgan tenglamaga ega bo„lamiz. ◄ Tekislikning normal tenglamasi. Fazoda biror tekislikni qaraymiz. Uning uchun koordinatalar boshidan “tekislik tomonga” yo„nalgan birlik normal ⃗ vektorni olamiz va orqali koordinatalar boshidan tekislikkacha bo„lgan masofani belgilaymiz (8-rasm). Agar tekislik koordinatalar boshidan o„tgan bo„lsa, deb va ⃗ normalning yo„nalishi sifatida mumkin bo„lgan ikki yo„nalishdan ixtiyoriy birini tanlaymiz.
Agar
nuqta tekislikning nuqtasi bo„lsa, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorning ⃗ vektor yo„nalishidagi ortogonal proyeksiyasi ga teng bo„ladi, ya‟ni ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , chunki
⃗ vektorning uzunligi birga teng. nuqtaning koordinatalari ( ) va ⃗ * + bo„lsin (birlik vektor uchun uning yo„naltiruvchi vektorlari bir vaqtning o„zida koordinatalari ham bo„lishini eslatib o„tamiz). ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tenglikdagi skalyar ko„paytmani koordinatalar orqali ifodalasak
Tekislikdagi to„g„ri chiziq holi singari, fazodagi tekislikning umumiy tenglamasini normallash-tiruvchi ko„paytuvchiga bo„lib, uni normal ko„rinishga o„tkazish mumkin. Tekislikning tenglamasi uchun √
son
normallashtiruvchi ko„paytuvchi bo„ladi, uning ishorasi koffisiyentning ishorasiga qarama-qarshi olinadi. Absolyut qiymati bo„yicha normallashtiruvchi ko„paytuvchi 𝑀
𝑀
𝑀
𝑂 𝑏 𝑦
𝑧 𝑎 𝑥 𝑐 7-rasm
𝑄 𝑂 𝑦 𝑥 𝑇 𝑧 𝑝 𝑛⃗
8-rasm * + noprmal vektor uzunligiga teng. Agar tekislik koordinatalar boshidan o„tsa, ya‟ni bo„lsa, normallashtiruvchi ko„paytuvchining ishorasini ixtiyoriy tanlash mumkin.
umumiy tenglamasini normal ko„rinishga keltiring. ►Normallashtiruvchi ko„paytuvchini “ ” ishora bilan hisoblaymiz (chunki ):
√
( )
Shunday qilib, berilgan tekislikning normal tenglamasi
ko„rinishda bo„ladi. Tenglamadan ko„rinib turibdiki tekislikdan koordinatalar boshigacha bo„lgan masofa bo„ladi.◄ Tekislikning chala tenglamalari. Agar tenglamaning ayrim koffisiyentlari nolga teng bo„lsa, tekislikning koordinata o„qlariga va tekisliklariga nisbatan joylashinuvini o„rganamiz. Agar tenglamaning koffisiyentlaridan ikkitasi nolga teng bo„lsa, u koordinata tekisliklaridan biriga parallel tekislikni aniqlaydi. Masalan, va bo„lsa,
yoki tekislik tekislikka parallel, chunki uning ⃗
* + normali bu tekislikka perpendikulyar. yoki bo„lsa, qidirilayotgan
va tekisliklar mos ravishda va tekisliklarga parallel bo„ladi, chunki ularning ⃗
* + va ⃗
* + normallari ularga perpendikulyar (9-rasm). Agar tenglamaning , koffisiyentlaridan faqat bittasi nolga teng bo„lsa, u koordinata o„qlaridan biriga parallel tekislikni aniqlaydi. Masalan, tekislik o„qqa parallel, chunki uning
⃗ * + normali o„qqa perpendikulyar. tekislik tekislikda yotuvchi to„g„ri chiziq orqali o„tishini ta‟kidlash kerak (10-rasm). Agar
bo„lsa, tekislik koordinatalar boshidan o„tadi.
8-Misol. parametrning qanday qiymatida (
) ( ) 𝑂 𝑇
𝑇
𝑇
𝑛⃗
𝑛⃗
𝑛⃗
𝑧 𝑦 𝑥 9-rasm 𝑇 𝐿 𝑦 𝑥 𝑂 𝑧 𝑛⃗ 10-rasm
tenglama aniqlaydigan tekislik: 1) koordinata tekisliklaridan biriga parallel; 2) koordinata o„qlaridan biriga parallel; 3) koordinata boshidan o„tadi. ►Berilgan tenglamani ( ) ( )( ) (15) ko„rinishda yozib olamiz. parametrning har qanday qiymatida (4) tenglama birorta tekislikni aniqlaydi, chunki oldidagi koffisiyentlar bir vaqtning o„zida nolga aylanmaydi. 1)
bo„lsa, (15) tenglama tekislikka parallel
tekislikni aniqlaydi, bo„lsa, tekislikka parallel
tekislikni aniqlaydi. parametrning har qanday qiymatida ham (15) tenglama tekislikka parallel tekislikni aniqlamaydi, chunki oldidagi koeffisiyentlar bir vaqtning o„zoida nolga aylanmaydi. 2) bo„lsa, (15) tenglama o„qqa parallel tekislikni aniqlaydi. parametrning boshqa har qanday qiymatida ham (15) tenglama qolgan koordinata o„qlariga parallel tekislikni aniqlamaydi. 3) bo„lsa (15) tenglama koordinatalar boshidan o„tuvchi tekislikni aniqlaydi.◄ Fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamasi Fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi. Fazodagi to„g„ri chiziqni ikkita tekislikning kesishish chizig„i sifatida qarash mumkin. Agar
,
tekisliklar parallel bo„lmasa, ular to„g„ri chiziq bo„ylab kesishadi. ( ) nuqtaning koordinatalari bu tekisliklar har birining tenglamasini qanoatlantirganda, ya‟ni to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi deb ataluvchi {
(16) sistemaning yechimi bo„lgandagina bu to„g„ri chiziqqa tegishli bo„ladi. Fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi. To„g„ri burchakli koordinatalar sistemasida yo„naltiruvchi vektori * + bo„lgan va
(
) nuqtadan o„tuvchi to„g„ri chiziq berilgan bo„lsin va ( ) fazoning ixtiyoriy nuqtasi bo„lsin. nuqtaning to„g„ri chiziqqa tegishli bo„lish sharti
+ va vektorlar kollinear bo„lishidan iborat. Bu esa ularning mos koordinatalari proporsional degan ma‟noni angalatadi. orqali proporsionallik koeffisiyentini belgilab
tengliklarga ega bo„lamiz. Bundan esa fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi deb ataluvchi {
(17) sistemani hosil qilamiz. (17) sistemadagi oltita koeffisiyentni quyidagicha geometrik talqin qilish mumkin: to„g„ri chiziqning qiymatga mos keluvchi bitta nuqtasining koordinatalari va to„g„ri chiziq yo„naltiruvchi vektori koordinatalari.
Shunday qilib, (17) sistemadagi koffisiyentlarning hech bo„lmaganda bittasi noldan farqli bo„lsa, bu sistema fazoda
(
) nuqtadan o„tuvchi to„g„ri chiziqni aniqlaydi.
Fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi. (17) parametrik tenglamalarda
parametrni yo„qotamiz va natijada
(18)
tenglikka ega bo„lamiz. Bu tenglama fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi deb ataladi.
Kanonik tenglamada maxrajda nol qiymat bo„lishi ham mumkin. parametrlar nol qiymatining ma‟nosini anglash uchun nol maxrajlar muammosi yo„q (3) parametrik tenglamalarga e‟tiborimizni qaratamiz. Masalan, bo„lsa, (18) tenglamadan
kelib chiqadi. Ko„rinib turibdiki, agar kanonik tenglamada maxrajlardan biri (yoki ikkitasi, ammo uchtasi emas) nolga teng bo„lsa, unga mos surat ham nolga teng bo„lar ekan. Ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi. Fazodagi har qanday to„g„ri chiziq o„zining ixtiyoriy ikkita har xil nuqtasi bilan bir qiymatli aniqlanadi. Ikkita har xil
) va
(
) nuqtalardan o„tuvchi to„g„ri chiziq tenglamasini tuzamiz. ( ) bu to„g„ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo„lsin. U holda
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ *
+ va
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ *
+ vektorlar kollinear bo„ladi, shuning uchun vektorlarning parallellik shartiga ko„ra
(19) tenglik o„rinli bo„ladi. (19) tenglama berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi deb ataladi. 9-Misol.
,
tekisliklar kesishishidan hosil bo„lgan to„g„ri chiziqning kanonik tenglamasini tuziung. ►Bu to„g„ri chiziqning birorta nuqtasi koordinatalarini topish uchun tekisliklar tenglamalariga qiymatni qo„yamiz, natijada va noma‟lumlarga nisbatan {
sistemani hosil qilamiz va bu sistemaning yagona yechimini topamiz. Shunday qilib, ( ) nuqta qidirilayotgan to„g„ri chiziqda yotadi.
To„g„ri chiziqning yo„naltiruvchi vektori sifatida va
tekisliklar ⃗
* + va ⃗
* + normal vektorlarining ⃗ ⃗
bektor ko„paytmasini olamiz. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning vektor ko„paytmasini hisoblash formulasiga ko„ra: ⃗
|
| ⃗ , ya‟ni to„g„ri chiziqning yo„naltiruvchi vektori * + bo„ladi. Topilgan vektorni soddalik uchun unga kollinear bo„lgan * + vektor bilan almashtiramiz.
Topilganlar yordamida qidirilayotgan to„g„ri chiziq tenglamasini tuzamiz:
Download 0.8 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|