6-ma’ruza Tekislik va fazodagi to’g’ri chiziqning, hamda tekislikning turli ko’rinishdagi tenglamalari


Nuqtadan  to‘g‘ri  chiziqqacha  bo‘lgan  masofa


Download 0.8 Mb.
Pdf ko'rish
bet7/10
Sana05.01.2022
Hajmi0.8 Mb.
#230470
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
6-ma’ruza 5e8f0dc9df4c1e2edba9a04e86b4f5b4

Nuqtadan  to‘g‘ri  chiziqqacha  bo‘lgan  masofa.  Berilgan 

   nuqtadan     to„g„ri 

chiziqqacha  bo„lgan  masofani  turli  usullar  bilan  hisoblash  mumkin.  Masalan,  agar    

to„g„ri  chiziqdan  ixtiyoriy   

 

  nuqtani  olsak, 



 

 

 



⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗   vektorning  to„g„ri  chiziq  normal 

vektori  yo„nalishidagi  ortogonal  proyeksiyasini  aniqlash  mumkin.  Bu  proyeksiyaning 

absolyut qiymati kerakli masofaga teng bo„ladi. 

 

Nuqtadan to„g„ri chiziqqacha bo„lgan masofani aniqlashning boshqa usuli to„g„ri 



chiziqning normal tenglamasidan foydalanishga asoslangan. 

  to„g„ri chiziq (9) normal 

tenglama  bilan  berilgan  bo„lsin.  Agar   ( 

 

   



 

)  nuqta     to„g„ri  chiziqda  yotmasa,  u 

holda 

  nuqta radius-vektorining   to„g„ri chiziq  ⃗   normal birlik vektori yo„nalishidagi 



  

 

⃗ 



  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   proyeksiyasi    

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   va   ⃗   vektorlarning  skalyar  ko„paytmasiga,  ya‟ni   

 

       



 

 

      ga  teng. Bu masofa yana koordinatalar boshidan to„g„ri chiziqqacha bo„lgan   



masofa  bilan  qandaydir 

   miqdorning  yigindisiga  teng  (6-rasm).     miqdor  absolyut 

qiymati bo„yicha   nuqtadan   to„g„ri chiziqqacha bo„lgan masofaga teng. Bunda agar 

  va   nuqtalar to„g„ri chiziqning turli tomonlarida yotsa        va bir tomonda yotsa 

       va  bir  tomonda  yotsa                 bo„ladi.         miqdor             nuqtaning  to‘g‘ri 

chiziqdan chetlanishi deb ataladi. 

 

      



 ( 

 

   



 

)  nuqtaning     to„g„ri  chiziqdan       

chetlanishi 

  

 



⃗ 

  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗   proyeksiya  bilan  to„gri  chiziqdan 



koordinatalar  boshigacha  bo„lgan     masofaning 

ayirmasi  sifatida  hisoblanadi  (5-rasm),  ya‟ni 

   

 

 



         

 

         . 



      

 ( 


 

   


 

)  nuqtaning     to„g„ri  chiziqdan    

chetlanishi     

  

 



⃗ 

  

⃗⃗⃗⃗⃗⃗       proyeksiya      bilan        to„gri 



chiziqdan  koordinatalar  boshigacha  bo„lgan    

masofaning    ayirmasi     sifatida     hisoblanadi (5-

rasmga qarang), ya‟ni      

 

         



 

         .    

 

Bu formulaga ko„ra  ( 



 

   


 

) nuqtadan normal tenglama bilan berilgan   to„g„ri 

chiziqqacha bo„lgan  (    ) masofani ham hisoblash mumkin: 

 (    )   | |   | 

 

         



 

         |  

 

To„g„ri  chiziqning  umumiy  tenglamasidan  normal  tenglamaga  o„tkazish 



almashtirishini  inobatga  olsak, 

   nuqtadan  umumiy  tenglama  bilan  berilgan     to„g„ri 

chiziqqacha bo„lgan masofa uchun 

 (    )  

|  

 

    



 

   |


√ 

 

   



 

 

(10) 



formulani hosil qilamiz. 

4-Misol.  Uchlari 

 (      )   (    )   (    )  nuqtalarda  bo„lgan       uchburchak    

uchidan chiqqan 

   balandlik,    mediana va    bissektrisa tenglamasini tuzing. 

𝑂 

𝑄 

𝐿 



𝜑

 

𝑥 



𝑦 

𝑝 

𝛿



 

5-rasm 



►Dastlab masalaning shartiga aniqlik kiritaylik: ko„rsatilgan tenglamalar deganda     

uchburchakning 

    balandligi,      medianasi  va      bissektrisasi  yotgan   

  



 

  



 

  

 to„g„ri chiziqlar nazarda tutilgan. 



 

 

  



  to„g„ri  chiziq  tenglamasini  tuzish  uchun,  mediana  qarama-qarshi  tomonni 

teng  ikkiga  bo„lishidan  foydalanamiz.      kesma  o„rtasining  ( 

 

   


 

)  koordinatalarini 

 

 

  (     )         



 

  (     )        topib,     

  

  uchun  ikki  nuqtadan  o„tuvchi 



to„g„ri chiziq tenglamasi ko„rinishida tuzamiz: 

     


     

 

     



     

  

Uni soddalashtirib 



                

 

  



 mediana tenglamasini hosil qilamiz. 

 

 



  

  balandlik  tenglamasini  tuzish  uchun  balandlik  uchburchak  qarama-qarshi 

tomoniga  perpendikulyrligidan  foydalanamiz.  Demak, 

  

⃗⃗⃗⃗⃗    *            + vektor    



balandlikka perpendikulyar bo„ladi va uni  

  

 to„g„ri chiziqning normali sifatida olish 



mumkin. Bu to„g„ri chiziqning tenglamasini (1) formulaga ko„ra tuzamiz: 

(  )(     )    (     )      

Uni soddalashtirib 

 

  



 balandlikning 

                

tenglamasiga ega bo„lamiz. 

 

 



  

 bissektrisaning tenglamasini topish uchun 

   bissektrisaning barcha  (    ) 

nuqtalari 

 

  

  va 



 

  

  to„g„ri  chiziqlardan  teng  uzoqlikda  joylashganligidan 



foydalanamiz. Demak, bu to„g„ri chiziq tenglamasi 

 (    


  

)    (    

  

)                                         (11) 



ko„rinishda bo„ladi va u   nuqtadan o„tuvchi va  

  

 va 



 

  

 to„g„ri chiziqlar orasidagi 



burchaklarni  ikkiga  bo„luvchi  ikkita  to„g„ri  chiziqni  aniqlaydi.  Ikki  nuqtadan  o„tuvchi 

to„g„ri  chiziq  tenglamasidan  foydalanib   

  

  va 


 

  

  to„g„ri  chiziqlar  tenglamalarini 



tuzamiz: 

 

  



  

     


     

 

     



     

     


  

  

     



     

 

     



     

  

Ularni soddalashtirib 



 

  

            9     



 

  

                 



umumiy  tenglamalrni  hosil  qilamiz.  (11)  tenglamani  nuqtadan  to„g„ri  chiziqqacha 

bo„lgan masofani hisoblash (10) formulasi yordamida 

|          9|

√ 

 



  (  )

 

 



|          |

√ 

 



  (  )

 

 



ko„rinishda yozamiz. Modulni ochib uni soddalashtiramiz: 

          9     

          

√  


  

Natijada ikkita to„g„ri chiziqning 

(   

  

√  



)     (    

 

√  



)     ( 9  

  

√  



)     


umumiy tenglamalarini hosil qilamiz. Ulardan bissektrisa tenglamasini tanlash uchun, 

  

va 



  uchlar qidirilayotgan to„g„ri chiziqning turli tomonlarida yotishini hisobga olamiz 

va  shuning  uchun  ularning  koordinatalarini 

 

  

  to„g„ri  chiziqning  tenglamasiga 



qo„yilganda  turli  ishorali  qiymatlar  hosil  bo„lishi  kerak.  Dastlab  yuqori  ishoraga  mos 

keluvchi tenglamani olamiz: 

(   

  

√  



)     (    

 

√  



)     ( 9  

  

√  



)      

  nuqtaning koordinatalarini qo„yamiz: 

(   

  

√  



)     (    

 

√  



)     ( 9  

  

√  



)   

            9  

              

√  


   

   


√  

     


Xuddi shu singari 

  nuqtaning koordianatalarini qo„yamiz: 

(   

  

√  



)     (    

 

√  



)     ( 9  

  

√  



)   

           9  

             

√  


           

Demak, 


   va     nuqtalar  tanlangan  tenglama  to„g„ri  chizig„ining  bir  tomonida 

joylashgan, shuning uchun bissektrisaning tenglamasi 

(   

  

√  



)     (    

 

√  



)     ( 9  

  

√  



)     

bo„ladi.◄ 




Download 0.8 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling