60-odd years of moscow mathematical

Grade 8
50.8.1. Prove that 12
¡
x
a
+
y
b
¢
>
x+y
a+b
for a > b > 0 and
x
a
<
y
b
.
50.8.2. A boy decided to cut out of a 2n × 2n piece of paper the greatest possible number of 1 × (n + 1)
rectangles. What is this number if: a) n < 3; b) n = 3; c) n > 3?
50.8.3. A teacher organizes a tug-of-war tournament and decides that all possible teams that can be
made from students of her class (obviously not counting the whole class as a team) should participate exactly
once. Prove that each team will compete with the team made up of the remaining students.

---

OLYMPIAD 50 (1987)
129
50.8.4. In pentagon ABCDE, ∠ABC and ∠CDE are right angles, ∠BCA = ∠DCE, and M is the
midpoint of side AE. Prove that M B = M D (See Fig. 95.)
50.8.5. Is there a set of positive integers such that for any positive integer n at least one of the numbers
n, n + 50 belongs to the set, and at least one of the numbers n or n + 1987 does not?
Grade 9
50.9.1. Given a set of 7 different integers from 0 to 9. Prove that for any positive integer n there exists
a pair of integers from the set whose sum ends with the same digit as n does.
50.9.2. Given k vertices of a regular pentagon, find the remaining vertices using a two-sided ruler for
a) k = 4, b) k = 3.
50.9.3. Find 50 positive integers such that none of them is divisible by another, and the product of any
two is divisible by any of the rest.
50.9.4. Prove that if n = 1987, then
(a
1
+ · · · + a
n
)
2
b
1
+ · · · + b
n
≤
a
2
1
b
1
+ · · · +
a
2
n
b
n
for any a
1
, a
2
, . . . , a
n
and positive b
1
, b
2
, . . . b
n
.
50.9.5. Tanya dropped a ball into a huge rectangular pool. She wants to rescue it using 30 narrow
planks, each 1 m long to make a bridge so that each plank is supported by either the edges of the pool or by
the planks already settled, and so that ultimately one of the planks is right over the ball. Prove that Tanya
will not be able to do this if the distance from the sides of the pool to the ball exceeds 2 m. (See Fig. 96.)
Figure 96. (Probl. 50.9.5)
Grade 10
50.10.1. a) Prove that of three positive numbers it is always possible to select two, say, x and y, so that
0 ≤
x − y
1 + xy
≤ 1.
b) Is it possible to select such numbers from any 4 (not necessarily positive) numbers?
50.10.2. The measures of the angles between a plane in space and the sides of an equilateral spatial
triangle are equal to α, β, γ. Prove that one of the numbers sin α, sin β, sin γ is equal to the sum of the
other two.
50.10.3. On a piece of graph paper, 17 squares with side 1 are shaded. Prove that they can be covered
by rectangles, the sum of whose perimeters is less than 100, so that the distance between any two points on
distinct rectangles is ≥
√
2.
50.10.4. Is it possible to divide the set of integers into 3 subsets so that for any integer n the numbers